习题4及其解答 - 广东工业大学.doc

4.1 两块无限大接地平行板导体相距为d,其间有一与导体板平行的无限大电荷片，其电荷面密度为，如图所示。试通过拉普拉斯方程求两导体之间导体分布。 解：电位仅是的函数，所以 可解得 题 4.1 图 和满足边界条件 于是有 由此得到 所以 4.2 设很长的同轴圆柱结构的内、外导体之间填充以电子云，其电荷体密度 ,其中和分别为内、外导体的半径，为常数。设内导体维持在电位，而外导体接地用解泊松方程的方法求区域内的电位分布。 解：由于轴对称性，在圆柱坐标系中，电位仅为的函数，所以 由此可解出 电位满足边界条件 ， 于是有 由此解出 于是得到 4.3 通过解电位的泊松方程和拉普拉斯方程，确定球形电子云内部和外部的电位和电场。已知电子云内部区域，有均匀的体电荷密度；在电子云外部区域中，。 解：由于电荷分布的球对称性，在球坐标中，电位仅是的函数，其满足的微分方程为 由此解出 和满足的边界条件为 时，为有限值；时， ； 于是有 , 由此得到 , , 所以 4.4 一电荷量为质量为的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面距离。求的值以使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡。(设)。 解：小带电体可视为一点电荷，它所受静电力，来自导体平板的感应电荷，也就是镜像电荷(平面上方处，)对它的作用力。 吸力，向上。 令与重力大小相等，有 解得 4.5 一个点电荷与无限大导体平面距离为，如果把它移到无穷远处，需要做多少功？ 解：当点电荷移动到距离导体平面为的点处时，其像电荷，与导体平面相距为为，如图所示。像电荷 在点处产生的电场为 所以将点电荷移到无穷远处时，电场所 做的功为 题 4.5图 外力所做的功为 4.6 两点电荷和位于一个半径为的导体球直径的延长线上，分别距球心和。 (1) 证明：镜像电荷构成一偶极子，位于球心，偶极矩为 (2) 令和分别趋于无穷，同时保持不变，计算球外的电场 解：(1)如图所示，设为的镜像： 为的镜像： 可见二像电荷等值异号，与球心等距离，构成位于球心的 偶极子，其电偶极矩 题 4.6 图 (2)球外电场是由四个点电荷产生的合成场。当时， 和在导体球及邻域的场变化缓慢，是均匀场，可用球心处的场表示 (不变) 其电位表达式 电偶极矩(、)在球外的电位为 故球外电位为 4.7 半径为的长导线架在空中，导线和墙和地面都相互平行，且距墙和地面分别和，设墙和地面都视为理想导体，且，。试求此导线对地的单位长电容。 解：设导线单位长带电荷为，如图所示。 墙和地面的感应电荷可由三个镜像电荷代 替，因，，则像电荷的大 小和位置为 位于(，) 位于(，) 位于(，) 导线的线电荷(在其轴线上)以及镜像 题 4.7 图 线电荷、、在导线表面上产生的电位为 故导线对地的单位长电容为 4.8 半径为的接地导体球，离球心()处放置一个点电荷，如图所示,用分离变量法求电位分布。 解：设其中 是点电荷的电位，是导体球上的感应电荷产生 的电位。 电位满足的边界条件为 (1)时， (2) 时， 由式(1)可得的通解为 题4.8 图 为了确定系数，利用的球坐标展开式 将在球面上展开为 代入式(2)，有 比较的系数，得到 故得到球外的电位为 4.9 在一个半径为的