2007年迎春杯中年级组复赛试题及详解.pdf

2007 年“数学解题能力展示”读者评选活动中年级组决赛试题解析 1．计算：379×0.038+159×0.00621+3.79×0.121=________。 一级提示：直接计算肯定有困难，所以必然有巧妙的办法。 二级提示：本题考查的是同学们巧算的意识和积不变性质的应用。 题目分析：答案为1.59。 379×0.038+159×0.130621+3.79×0.121 =3.79×0.088+159×0.00621+3.79×0.121 =3.79×(0.038+0.121)+0.159×6.21 =3.79×0.159+0.159×6.21 =0.159×(3.79+6.21) =0.159×10 =1.59 2．用7 个长4 厘米，宽3 厘米的长方形拼成一个大长方形，在所有可能的拼法中。大长方形周长的 最小值是________厘米。 一级提示：共有哪几种不同的拼法？ 二级提示：怎样拼才能使大长方形周长最短？ 题目分析：答案为38。 要使所摆的大长方形的周长最小，应使7 个小长方形有尽可能多的边重合。只有如下的3 种摆法： 图1 的周长为(3×7+4)×2=50厘米； 图2 的周长为(4×7+3)×2=62厘米； 图3 的周长为(3×4+4+3)×2=38厘米。 显然，在所有的拼法中，大长方形周长的最小值是38 厘米。 3．有22 个装乒乓球的盒子。如果不管怎么装都至少有4 个盒子里的乒乓球数相同(不装算0 个)， 那么装球最多的盒子中装________个乒乓球。 一级提示：这道题目使用了什么原理？ 二级提示：怎样使得装球最多的盒子 题目分析：答案为6。 这是一道抽屉原理问题。应从最不利的情况入手。根据“不管怎么装都至少有 4 个盒子里的乒乓球 数相同”，考虑特殊情况：盒子里的乒乓球数尽量不相同，并尽量使球数相同盒子的数目都达到3 个。 设每个盒子最多装x 个乒乓球，则每个盒子中放的球数有O，l，2，…，x 共x+1 种，要使至少有4 个盒子中的乒乓球数相同，则22=3(x+1)+1，解得x=6。 4．取一张狭长的纸条，扭转半圈并把两端接在一起。形成如图所示的“缪比乌斯带”(缪比乌斯是 一位著名的数学家)。请问：如果沿着这条带子的正中央剪开带子，纸带会变成什么样子呢？答________。 (提示填：两个分开的细纸环；两个细纸环，一个套住另一个；一个更大的细纸环或一条更长的纸条) 一级提示：可以从纸环的一个地方出发，走一圈，看看能够走到哪里。 二级提示：最好的办法其实还是剪一张纸，实际操作操作看。 题目分析：答案为一个更大的细纸环。 这是一道著名问题。动手操作容易得出答案。得到的将是一个更大的细纸环。 数学上流传着这样一个故事：有人曾提出，先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然 后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。你 想想，应该怎样粘这个纸圈？ 如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的 要求，能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈儿呢？ 对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科学家进行了认真研究，结果都没有成功。 后来，德国数学家缪比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验，也毫无结果。 有一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去散步。新鲜的空气，清凉的风，使他顿时感到 轻松舒适，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿。 一片片肥大的玉米叶子，在他眼里变成了“绿色的纸条儿”，他不由自主地蹲下去，摆弄着、观察着。 叶子弯取着耸拉下来，有许多扭成半圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子自然扭的方向对接成一个 圆圈儿，他惊喜地发现，这“绿色的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圈圈! 缪比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转180°，再将两端粘在一起，这样就做成了只有一 个面的纸圈儿。 圆圈做成后，缪比乌斯捉了一只小甲虫，放在上面让它爬。结果，小甲虫不翻越任何边界就爬遍了 圆圈儿的所有部分。缪比乌斯圈激动地说：“公正的小甲虫，你无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面。” 上面说的游戏，只有把白纸条粘成 “缪比乌斯圈”，才能按要求完成。 做几个简单的实验，就会发现 “缪比乌斯圈”有许多让我们惊奇有趣的结果。 如果在裁好的一张纸条正中间画一