高数部分习题解答(第6章).doc

第六章 微分方程 习题6.1 3．用微分方程表示下列命题. (1)曲线在点（x，y）处的切线的斜率等于该点的横坐标与纵坐标之比的相反数. (2)某大洲的人口总量Q(t)的增长速度与当时的人口总数成比例. 解: (1) 根据导数的几何意义, y = f (x) 在点（x，y）处的切线的斜率可用导数y( = f ( (x)来表示, 由题目的条件知 y( =, 这就是所求的微分方程. (2) 人口总量Q(t)的增长速度可用导数Q((x) 来表示, 设题目所说的比例系数为k0，就得到所求的微分方程: Q((t) = kQ(t) 或简写成Q( = kQ. 4. 已知曲线族y = C1cos2x+C2sin2x，求其中满足条件y(0) = 2，y((0) = 0的曲线. 解: 对y = C1cos2x+C2sin2x求导得到y( = ?2C1sin2x+2C2cos2x. 把初始条件y(0) =2，y((0) = 0分别代入这两个方程得: 2 = C1, 0 = 2C2, 即C1 = 2, C2 = 0. 把它们代入曲线族方程得到 y = 2cos2x, 这就是所求的曲线的方程. 习题6.2 3．放射性物质镭的衰变速度与它现存量Q成正比，比例系数k = ??0.00433，求①在时刻t（以年为单位）镭的存量与时间t的函数关系，②经过多少年后，镭的质量只剩下原始量的一半？ 解: 设镭的存量与时间t的函数为Q = Q(t), 那么衰变速度可用导数Q((x) 来表示, 根据题目条件得到微分方程: Q( = ??0.00433Q, 解这个方程得出镭的存量与时间t的函数为Q = Q0e?0.00433t . 假定经过T年后，镭的质量只剩下原始量的一半, 即Q(T) = 0.5 Q0. 代入Q(t)中得到 0.5 Q0 = Q0e?0.00433T, 由此可求出T =(160(年). 4．在某种化学反应中，物质A转变成物质B的速度与物质A的瞬时存量的平方成正比. 如果物质A的初始质量为60克，1小时后物质A的瞬时存量减少到10克，求2小时后物质A的瞬时存量. 解: 设物质A在时刻t的存量为y = y(t), 那么由题目条件得到微分方程 y((t) = k (y(t))2, 或y( = ky2, 其中k是比例系数, 且y(0)=60, y(1)=10. 解这个方程得到通解 y (t) =, 把t = 0, y =60代入通解表达式, 可求出C =1/60, 即得出特解y (t) ==;因为t = 1 时y =10, 代入特解表达式,可求出k = ?1/12, 从而物质A的存量函数为 y =. 把t = 2代入函数,求得y == 5.45(g). 即2小时后物质A的瞬时存量为5.45g. 5．假定有一笔钱s0存在银行，每个月可按2%的利率获取复利息. 求得该款存入后任何时刻的资金（连本带利）是多少？ 解: 设在时刻t的资金（连本带利）为s = s(t). 那么由题目条件得到微分方程(初值问题): , 求出通解为s = Ce0.02t. 把t = 0, s = s0代入求得C = s0. 从而所求的解为s = s0e0.02t. 即该款存入后任何时刻t的资金（连本带利）是s =s0e0.02t. 6. 用x(t)表示时刻t的销售量, 设销售量的变化率x((t)与销售量x(t)及销售接近饱和水平的程度a?x之乘积成正比（比例系数k = 0.1）. 假定x(0)=100, 饱和水平a=1100，求销售函数x(t). 解: 由题目条件得到微分方程x((t)= 0.1x (a?x). 求出通解为 x =, 其中c =. 因为x0 =x(0)=100, 饱和水平a=1100，所以c =10, 销售函数x(t)为 x =. 7．（生物种群生长模型） 在一个孤立小岛上红蚂蚁迅速繁殖, 经一阶段增长后逐渐接近生长极限N. 假定在时刻t0= 0时的红蚂蚁量x0为生长极限N的m分之一（m10为整数）, 红蚂蚁量x(t)的增长率与x(t)本身和其接近生长极限的程度(N? x(t))之乘积成正比（比例系数k0）. 求红蚂蚁量x(t)的函数表达式. 又,假定生长极限N =100000单位, x0 为N的五千分之一, 10天后红蚂蚁量达到x0 的10倍, 问经过多少时间红蚂蚁可达到其生长极限的百分之六十. 解: 由题目条件得到微分方程x((t) = kx (N?x). 求出通解为 x =, 其中c =. 因为在时刻t0= 0时的红蚂蚁量x0为生长极限N的m分之一, x0= N/m, c = m?1. 所以,红蚂蚁量x(t)的函数表达式为 x =. 假定N =100000单位, x0 为N的五千分之一, 10天后红蚂蚁量达到x0 的10倍, 那么x0=20, m=500