第7章_无限脉冲响应滤波器设计.ppt

第7章 无限脉冲响应滤波器的设计 从大的方面来看，设计无限脉冲响应数字滤波器有两种基本方法：一种是间接设计法，另一种是直接设计法。间接设计法的基础是模拟滤波器。 7.1 模拟滤波器的设计 这里的模拟滤波器指调整模拟信号频谱的模拟系统。理想模拟滤波器在通带和阻带交界处的幅度是突变 的，实际模拟滤波器在通带和阻带之间的幅度是渐变的。 7.1.1 模拟滤波器的描述方法 模拟滤波器的频率响应是根据非周期函数的傅里叶变换定义(3.84)得来的。实际模拟滤波器的频率响应 其中h(t)是实际模拟滤波器的单位脉冲响应，是因果的。脉冲响应h(t)的拉普拉斯变换的定义是 模拟滤波器的幅频特性|H(jΩ)|也有用分贝的衰减函数A(Ω)来表示的，即 如果|H(jΩ)|max=1，则衰减函数将变为 幅频特性的平方|H(jΩ)|2叫做幅度平方响应，它也是一种描述模拟滤波器的有效方法。因为，利用系统频谱H(jΩ)的共轭特点，即 幅度平方响应有这种关系， 这种关系是设计模拟滤波器的工具。下面介绍两种常用的模拟滤波器设计。 7.1.2 巴特沃斯滤波器的设计 模拟低通巴特沃斯滤波器的幅度平方响应是 它的幅度随频率的增大而变小。例如H(jΩ)在阶N=1和5的频率响应曲线， 为了得到用复频率s表示的系统，让我们将s=jΩ代入幅度平方响应，就可以得到 巴特沃斯幅度平方响应的分母有2N个根，确定这些根的依据是 利用-1=ej(2πk-π)来求解方程(7.13)，就能得到这些根 只要你选择s左半平面的极点s1~N，用它们组成幅度平方函数中的系统函数H(s)，即 就可以获得稳定的模拟巴特沃斯滤波器。 例题7.1 船舶通信需要一个模拟低通滤波器，其通带截止频率fp=5kHz，通带衰减Ap=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带衰减As=20dB。请设计一个能满足这些技术指标的模拟低通巴特沃斯滤波器。 解 设计滤波器的关键在阶N和3dB截止频率Ωc。下面分四步来设计模拟滤波器。 （1）确定滤波器的阶 根据衰减公式和巴特沃斯的幅度平方函数，得 将技术指标代入衰减函数，可得阶 实际的阶N是正整数，最好是大于理论值的最小整数。本题取N=3。 （2）确定滤波器的截止频率 根据衰减函数，如果使用通带指标来计算3dB截止频率，则 （3）确定滤波器的极点 根据极点公式(7.14)和阶N=3，选择位于s平面的左半平面的极点，得系统的极点 （4）确定滤波器的系统函数 根据巴特沃斯滤波器的系统函数(7.18)，该系统函数 系数的近似取值会改变系统的频率响应，所以，必须检验公式(7.31)的幅频特性。它的幅频特性|H(Ω)|如左 图所示，右图是H(s)的系数四舍五入为整数后的幅频特性，例如4.06×1013变为4×1013；两者都能满足技术指标。 7.1.3 切比雪夫滤波器的设计 切比雪夫滤波器有两种类型： 切比雪夫1型的模拟低通滤波器的幅度平方函数是 式中r是跟通带的波动幅度有关的系数，CN(x)是N阶 切比雪夫多项式。N阶切比雪夫多项式的定义是 或 其中C0(x)=1和C1(x)=x。 确定切比雪夫1型的阶N和波动系数r，可从衰减函数入手，衰减函数是 首先，将通带指标{Ωp, Ap}带入公式(7.35)，得到 经过化简，得到波动系数 然后，将指标Ωp、Ωs、As和r代入式(7.35)，得到 化简公式(7.38)，就能得到切比雪夫1型的阶 知道阶N和波动系数r，就能设计切比雪夫1型的系统函数H(s)了。为了得到H(s)，让我们将s=jΩ代入幅度平方函数(7.32)， 它的分母含N阶多项式CN(x)的平方，是2N阶的，应该有2N个根。确定这些根的依据是 从多项式CN(x)中任选一个方程，都可以求解上面的方程。比如选择CN(x)的第一个方程，这时令 并将它代入公式(7.33)的第一个方程，得到 其中双曲正弦函数sh(x)=sinh(x)=(ex-e-x)/2。将公式(7.43)代入方程(7.41)，得到一个二元N次复数方程 对比复数方程(7.44)的实部和虚部，可以得到二元N次方程组 利用双曲余弦函数ch(x)≠0和sin(±π/2)=±1的特点，求出方程组(7.45)的解 将这些a和b代回公式(7.42)，并借鉴公式(7.43)，就能得到方程(7.41)的根， 参考公式(7.40)的x=s/(jΩp)和公式(7.47)，得到切比雪夫1型的幅度平方函数的2N个极点， 其中k=1~N，每个k都包含“±”两种情况。 按照公式(7.16)~(7.17)的分析，组成稳定系统H(s)的极点应该在复数s坐标平面的左半平