29届复赛与答案.doc

第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷 本卷共8题，满分160分。 一、（17分）设有一湖水足够深的咸水湖，湖面宽阔而平静，初始时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放，释放时物块的下底面和湖水表面恰好相接触。已知湖水密度为；物块边长为，密度为，且。在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下，求物块从初始位置出发往返一次所需的时间。 解： 由于湖面足够宽阔而物块体积很小，所以湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保持不变，因此，可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向建立坐标系，以下简称系. 设物块下底面的坐标为，在物块未完全浸没入湖水时，其所受到的浮力为 () (1) 式中为重力加速度.物块的重力为 (2) 设物块的加速度为，根据牛顿第二定律有 (3) 将(1)和(2)式代入(3)式得 (4) 将系坐标原点向下移动 而建立新坐标系，简称系. 新旧坐标的关系为 (5) 把(5)式代入(4)式得 (6) (6)式表示物块的运动是简谐振动. 若，则，对应于物块的平衡位置. 由(5)式可知，当物块处于平衡位置时，物块下底面在系中的坐标为 (7) 物块运动方程在系中可写为 (8) 利用参考圆可将其振动速度表示为 (9) 式中为振动的圆频率 (10) 在(8)和(9)式中和分别是振幅和初相位，由初始条件决定. 在物块刚被释放时，即时刻有，由(5)式得 (11) (12) 由(8)至(12)式可求得 (13) (14) 将(10)、(13)和(14)式分别代人(8)和(9)式得 (15) (16) 由(15)式可知，物块再次返回到初始位置时恰好完成一个振动周期；但物块的运动始终由(15)表示是有条件的，那就是在运动过程中物块始终没有完全浸没在湖水中. 若物块从某时刻起全部浸没在湖水中，则湖水作用于物块的浮力变成恒力，物块此后的运动将不再是简谐振动，物块再次返回到初始位置所需的时间也就不再全由振动的周期决定. 为此，必须研究物块可能完全浸没在湖水中的情况. 显然，在系中看，物块下底面坐标为时，物块刚好被完全浸没；由(5)式知在系中这一临界坐标值为 （17）即物块刚好完全浸没在湖水中时，其下底面在平衡位置以下处. 注意到在振动过程中，物块下底面离平衡位置的最大距离等于振动的振蝠，下面分两种情况讨论： I．. 由(13)和(17)两式得 (18) 在这种情况下，物块在运动过程中至多刚好全部浸没在湖水中. 因而，物块从初始位置起，经一个振动周期，再次返回至初始位置. 由(10)式得振动周期 (19)物块从初始位置出发往返一次所需的时间 (20) II．. 由(13)和(17)两式得 (21) 在这种情况下，物块在运动过程中会从某时刻起全部浸没在湖水表面之下. 设从初始位置起，经过时间物块刚好全部浸入湖水中，这时. 由(15)和(17)式得 (22)