37.第三十七讲：导数概念与其运算.ppt

第三十七讲 导数的概念及其运算;一、引言：;（2）考纲要求 理解导数概念及其几何意义，能利用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数． ;在点 处可导，并把这个极限叫做 在 处的导数，记作 或 ． 即　　　　　　　　　　　　　　　． ;2．导数的几何意义; 3．导数的运算： （1）基本函数的导数公式： ； ； ； ； ； ； ．;(3) 复合函数的导数：设 均可导，则复合函数 可导，且;例１ (2008北京)如图，函数　　的图象 是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为 　　　 　　　　　　，则　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　； 　 　　　　　　　　　　． （用数字作答） ;分析：本题的极限式为导数的定义公式的变形，因此结合导数定义公式进行合理变形是解决问题的突破口．;(2)解决此类问题的关键是分析解析式的结构和 特征，合理进行转化．利用导数的概念公式 　　　　　　　　　　　　并结合其几何意义 为曲线在点 　　　处的切线的斜率　　　．;如： ;分析：解答本题的突破口是要分析函数解析式的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数．;（２） ; 归纳小结：（1）本题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法和代数式等价化简的运算能力． （２）对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．　;　　对复合函数求导，必须正确分析复合函数是由哪些初等函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系，再按照复合函数求导法则进行求导． （３）对复杂函数的求导时，函数的解析式能化简的要尽量化简，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导前，先应用代数、三角恒等变形方法对函数解析式进行化简，然后再用函数的四则运算法则的求导公式求导数．;例3 某日中午12时整，甲船自A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之距离对时间的变化率是_______km/h．;∴答案为;（２）导数在实际问题中有着广泛的应用，如位移　　相对时间t的导数是表示时刻t处的瞬时速度，即 ；而速度相对时间t的导数就是时刻t处的加速度，即 ． ;例４ （2009江苏卷）在平面直角坐标系　　中，点　在曲线　： 上，且在第二象限内，已知曲线　在点　处的切线的斜率为2，则点　的坐标为 　 .;解：∵　　　 ∴　　　　 ∵点 在第二象限内，　 ∴　　　　 ∴点 的坐标为(-2,15).;例５（2007年海南、宁夏）曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）;解：∵曲线在切点 的切线的斜率为 ∴切线方程为 . 当x=0时，切线与y轴交于点 ； 当y=0时，切线与x轴交于点(2,0)． 所以切线与坐标轴所围三角形面积为 故选D.; 归纳小结：（１）本题考查了曲线的切线方程，并将导数的运算与几何图形的切线、面积进行综合，考查了数学知识的迁移能力和数形结合思想．;A. B. C. D.;化简得 ，可解得　　或　　　． 当　　时，　　，切线方程为 ； 当　　时，　　 ，切线方程为 ； 故选D．;( 2 )要注意的是，当函数在 处不可导时，曲线在该点处并不一定没有切线，同时切线的斜率 是在切点处的横坐标的导数值，故当切点未知时，应先设切点，再求斜率，写出切线的方程．;例７ 已知抛物线C1： 和 C2： 如果直线 同时是C1和C2的切线，称 是C1和C2的公切线．若C1和C2有且仅有一条公切线，求　的值，并写出此公切线的方程．;解：设抛物线