地球重力模型（位系数） - 武汉大学课程中心.ppt

积分在重力学中的应用 直接积分法　直接积分法是对积分中一部分容易积分的部份进行先行积分（也称为逐步积分法）。积分计算的技巧很多，如对称性、无关性的利用等等。不能一一叙述，仅举两个例子。 圆柱的引力　求密度为ρ、半径为R、高为h的圆柱过圆心垂线上圆柱外的引力。取坐标原点于园柱顶端中心。设待求点距圆心距离为a，由对称性可知： 。而采用柱坐标得 若半径R→∞时为层间改正，即得 积分在重力学中的应用 位理论方法　在重力学中有许多积分难以计算，特别是当积分区域较为复杂时尤为困难。例如，若地球的密度为常数，问地球外空间一点处的引力为多大？当考虑地球的复杂形状时，引力位的积分是难以精确计算的。若存在一种地球内部的密度分布使得（地）球表面的引力位为常数，问（地）球外空间任一点处的引力位为多大？ 积分（方程）反演方法的讨论　对均值问题，反演（反求质体内部的场源密度）有时是可能简单实现的。这里均值是指密度为常数的情况。均值问题是重力正反演中的计算最简单的问题。在大多数情况下，积分是可进行的（但并不是说反演结论是绝对正确的，问题的非唯一性可能还存在）。 化积分为微分　有时还利用位的微分性质，将积分化为微分进行讨论。常见的讨论方法有，微分方程的差分方法、微分方程的有限元-边界元方法等。 积分在重力学中的应用 积分的积分变换法　 质体的引力位　由引力位的计算公式（直角坐标形式）为 求V的逆变换 　　 求R的逆变换后可得问题的解 　　 作积分变换 　　 积分在重力学中的应用 积分的积分变换法　 大地水准面高　大地水准面高的计算公式是一个曲（球）面积分。先考虑平面形式的计算公式。为方便使用快速积分变换，计算大地水准面高的司托克斯公式 这是二维平面形式的计算公式。 可得问题的解 　　 司托克斯公式的平面近似公式为：　 积分在重力学中的应用 积分的数值积分方法 网格分区方法　对于区域大的积分，特别是一些远处信息对计算点值影响较小的积分，往往采用分区积分的办法。具体办法是：远区采用近似积分的办法，如采用经验公式的办法、舍去的办法、模型的办法等等；近区采用实际资料的格网数值方法。 最后一式可称为半数值方法（即部分网格法部分积分法）。 球面积分的处理方法　地球形状研究中常常用到球面积分 积分在重力学中的应用 积分的数值积分方法 三维积分的处理方法　在重力正反演的计算中，若质体庞大并且物质密度变化不剧烈时，其远区域的影响可用常密度处理，近区域采用网格积分方法，即 精细分区　由于计算点附近的重力信息（质量影响）对计算点的贡献远远大于远处的重力信息的作用，因此计算点附近应该具有更加细致精确的重力信息。在上述计算中，一般不统一采用同一规格大小的观测资料，而是选取由远而近越来越精细的网格划分，即把近区再划分为多级分区；如 　 区、　　　区、　　区等等。 注意：要注意球坐标下球（园）形区域与直角坐标下网格区域的链接问题，尽量避免区域的重复或遗漏。 积分在重力学中的应用 积分的数值积分方法 奇异积分的处理方法　一般而言，积分有确切的计算值。但在数值计算时，函数可能变为奇异而无法求出，这种情况往往是不真实的。 球面积分法　对奇异点的邻域，采用球面极坐标，若 则先作局部积分即可消去奇异现象。三维积分中奇异积分的处理方法与此相类似。 局部拟合法　对奇异积分的问题还可以应用观测资料的局部拟合方法处理。其基本思想是将计算点附近几个（四个或九个）网格（块）上的积分上的观测值拟合成一个多项式代入积分中再进行积分即可。 4.线性重力问题的求解方法 重力反问题 重力学中的反（演）问题　在地球重力学中，反（演）问题很多。如已知地表观测值求场源（质量）分布、推求断层，利用地表重力异常寻求地球内部的剩余密度等等。 一般地，场源函数与地表物理场之间存在着积分关系（也可以表示为其它关系）为 其中，τ为场源的作用区域，称G为积分核函数（又称格林函数），它刻划了“场”g与“源”m间的“关系”。 若场函数g为（地表观测的）已知函数，积分核函数G根据场与场源的物理实际给出，求解场源的物理问题称为反演问题。反（演）问题就是求解上述积分方程问题。 有时为叙述方便，将它写成为内积形式　　　　　　　　　　或算子形式　　　。若存在“逆”算子使得m=G-1g，则称m为算子方程的（反演问题意义下的、广义的）解。一般情况下，积分算子与微分算子互为逆算子，如牛顿引力位的积分与引力位的调和性质。 适定性与最优解 反演问题的适定性　对一般的反演问题而言，其解是不适定的。例如：存在着“非0”的场源m，使得Gm=0，称m为“零解”，亦称“0场源”，即无法观测的场源。此时，若m1是g的场源，则m1+m也是的场