专题二十四 应用性问题.doc

专题二十四　应用性问题 例题精讲例1　(1)y＝；(2)0.6【解析】　(1)由题意和图示，当0≤t≤0.1时，可设y＝kt(k为待定系数)，由于点(0.1，1)在直线上，∴k＝10；同理，当t0.1时，可得1＝－＝0＝.综上所述：y＝.(2)由题意可得y≤0.25＝，即得或或t≥0.6，由题意至少需0.6小时后，学生才能回到教室．例1　变式训练　【解】　设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则＝(2a－x)(b＋0.01bx)－0.4bx＝－[x－2(a－70)x]＋2ab，依题意　2a－x≥×2a，∴0x≤.　 又1402a420，　即70a210.(1)当0a－70≤，即70a≤140时，x＝a－70 ，y取到2)当a－70，即140a210时，x＝ ，y取到最大值；　综上所述，当70a≤140时，应裁员a－70人；当140a210时，应裁员人．例2　　(1，2) ；(3，402)　【解析】　T－T＝ xk＝，＝横坐标每5个点一组，每组成等差，公差为1，每组首项均为1.纵坐标每5个点一组，每组纵坐标相同，每组与前一组纵坐标等差，公差为1.即种树的位置顺序如图．即当5n－4≤k≤5n(n≥1)时，则P(k－5(n－1)，n)．∴第6棵树坐标是(1，2)，当k＝2008时，由于5×402－420085×402，知n＝402，得P(2008－5×401，402)，即第2008棵树应是第402行第3列，坐标是(3，402)．例2　变式训练　【解】　设两次购粮单价依次为x元、x元(x)，则甲每千克购粮价格为＝(元)；乙每千克购粮价格为＝(元)．由均值不等式及x有，于是.因此乙的购粮方式合算．例3　【解】　设应预定午餐x份，晚餐y份，总花费为z元，则由已知有　　且z＝2.5x＋4y，作出可行域如图 其中直线x＋y＝7与直线3x＋5y＝27交于点B(4, 3)，作直线l: 2.5x＋4y＝0平移直线l过B(4, 3)时，z最小且z＝2.5×4＋4×3＝22，故应预定4份早餐，3份晚餐，总花费最小为22元．例3　变式训练　【解】　设该汽车的使用年限为n年，记f(n)为使用该类汽车的年平均费用，则(n)＝[10＋0.9n＋(0.2＋0.4＋…＋0.2n)]＝[10＋0.9n＋]＝＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当 ＝，即n＝10(年)时，式子等号成立．因此，该类汽车使用10年报废最合算，此时年平均费用最少为3万元．例4　【解】　(1)∵OA＋OB＋AB＝3，∴AB＝3－a－b.∵∠＝60，由余弦定理，得AB＝a＋b－2ab(3－a－b)＝a＋－ab整理，得b＝.由a＞0，b＞0，3－a－b＞0，及a＋b＞3－a－b，a＋3－a－b＞b，b＋3－a－b＞a，得0＜a＜.综上，b＝，0a.(2)以O为原点，OM所在直线为x轴，建立如图所示直角坐标系． ∵PH＝，PO＝，∴点P(，)．假设AB过点P.∵A(a，0)，B＝(b，b)，即B(·，·)，∴直线AP方程为y＝(x－a)，即y＝(x－a)．将点B代入，得·＝(·－a)．化简，得6a－10a＋3＝0.∴a＝∈(0，)．答：下水管道AB能经过污水总管的接口点P，∴a＝()．例4　变式训练　【解】　∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60＝60＝60，AD＝CD＝500，在△BCD中，∠DBC＝180－30－105＝45由正弦定理，＝，BD＝CD·＝500×＝250(3＋)．在△ADB中，由余弦定理AB＝AD＋BD－2·代入，解得AB＝250.∴虎鲨队的两支精锐部队的距离为250例5　【解】　按复利计息规则知，每年的投入与收入均构成等比数列．(1)第1年投入为800万元，第2年投入为万元，…，第n年投入为800×万元．所以，n年内的总投入为＝800＋800×＋…＋800×＝＝4000×第1年旅游业收入为400万元，第2年收入为400×万元，…，第n年旅游业收入为400×万元，所以n年内的旅游业总收入为B＝400＋400×＋…＋400×＝＝1600×(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此知B－A，即1600×－4000×0化简得＋2×－70，设x＝，代入上式得5x－7x＋20解此不等式得x，或x1(舍去)即，因此得n≥5.即，至少经过5年旅游总收入才能超过总投入．例5　变式训练　【解】　设操作n次后，酒精浓度为a，则a＝，a＝a，a＝a，…a＝a－，∴a＝()，an＜30，()＜，n＞7.4，∴至少反复操作8次，才能完成要求．例6　【解】　(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A), (A1, B1, C2), (A1, B2, C1), (A1, B2, C2), (A1, B3, C1), (A1, B3, C2), (A2, B1,