导数为差分商之极限.ppt

6 比較靜態分析與導數之觀念 比較靜態分析與導數之觀念  6.1 比較靜態分析之性質 6.2 變動率與導數 6.3導數與曲線斜率 6.4 極限 6.6 極限定理 6.7 函數之連續性與可微分性 6.1 比較靜態分析之性質 1. 當外生變數或參數值改變而造成均衡值改變時，比較分析新舊均衡的方法。 2. 只比較均衡值改變的情形，而不探討其調整之過程。 3. 可以是定性分析，也可以是定量分析。 4. 基本問題就是：找變動率（rate of change）－相對於某外生變數或參數之改變，內生變數改變了多少。 因此在數學上要借用”微分”的觀念。 6.2 變動率與導數 6.2 變動率與導數 差分商（difference quotient）： 1). 表示x值由x0變為（x0+?x）時，平均每單位x之變動所引起y之變動。其中 ?x ＝x1 －x0 2). 衡量的是y的平均改變率，為x0和?x的函數。 6.2 變動率與導數 例1 已知y = f（x）＝3x2-4，則其差分商為？當x值由3變為7時，y改變了多少？ x0＝3，?x＝4，差分商＝6×3+3×4＝30。此意謂，平均而言，當x由3變為7時，對應於每單位x之變動，y平均變動30單位。 6.2 變動率與導數 2. 導數（derivative） 讀作：當?x趨近於零時，…之極限。 當?x→0若差分商之極限存在，則其極限等於函數 y = f（x）之導數。 6.2 變動率與導數 注意： 1) 導數意指導出之函數。原來函數y = f（x）為原始函數，而導數為由其中導出之另一個函數。導數為x0之函數，差分商為x0和?x之函數。 2) 導數為差分商之極限，而差分商為y之變動率，故導數橫量之變動率，本質上為瞬間（instantaneous）變動率之概念。 6.2 變動率與導數 3) 導數有兩種常用的表示形式。 ，或 ：Lagrange啟用，強調由原始函數導出。另一為dy/dx，由Leibniz啟用，強調利用導數以衡量變動率。 6.2 變動率與導數 例2 仍以函數y = f（x）＝3x2-4為例，求其導數。當x＝3時及x＝4時之導數為何？ 6.3導數與曲線斜率 導函數在函數圖形上即為曲線之斜率 例如總成本曲線斜率VS邊際成本 P.132 Figure 6.1 C= f (Q) 6.4 極限 1.左極限與右極限 左極限：從N的左邊向N逼近，公式： 右極限：從N的右邊向N逼近，公式： 若且唯若左極限＝右極限＝L時（假設等於一有限實數L），則稱q之極限值存在，寫 為 ；若 ，我們稱q之極限值不存在，因為當v→N時，q為繼續遞增。則稱q有極限是矛盾的。 6.4 極限 有些情形指考慮單邊極限： （1） ：只考慮左極限，便決定極限值是否存在。 （2） ：只考慮右極限，便決定極限值是否存在。 圖形說明p135，圖6.2 6.4 The Concept of Limit II. Graphical Illustrations P.135 Figure 6.2 (a) (b) 6.4 The Concept of Limit (c) 6.4 The Concept of Limit (d) 6.4 極限 Evaluation of a Limit Ex 1： 求 Ex 2： ，求 法則：想辦法化簡，使分母不含(1-v)。 Ex 3： ，求 Note：v→∞時，分子＝∞。無法明確決定其值。 法則：將之化簡為帶分式，使分子不含v。 6.6 極限定理 藉以簡化求複雜函數之極限值。 I. 只包含單一函數之定理（可直接令v＝N） q ＝ g（v） If q = a v + b, then If q = b, then If q = v, then If ，then 6.6 極限定理 II含有兩個函數之定理 q1=g（v）,q2＝h（v）且 ， 6.6 極限定理 III 多項函數之極限 6.7 函數之連續性與可微分性 1.函數的連續性 「函數q＝g（v）在v＝N處連續」： 此函數在v＝N處之極限值存在，而且等於g（N）。 6.7 函數之連續性與可微分性 ∴連續性至少包含三個條件： 點N必須在函數定義域內， 當v→N，函