平面向量中最值问题浅析.doc

平面向量中的最值问题浅析 耿素兰 山西平定二中（045200） 平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。 一、利用函数思想方法求解 例1、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是________. 图 1 1 图 1 1 分析：寻求刻画点变化的变量，建立目标与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。 解：设，以点为原点，为轴建立直角坐标系，则，，。 即 。 因此，当时，取最大值2。 例2、已知点Q为射线OP上的一个动点，当取最小值时，求 分析：因为点Q在射线OP上，向量与同向，故可以得到关于坐标的一个关系式，再根据取最小值求 解：设，则 当时，取最小值-8，此时 二、利用向量的数量积求最值 例3、三边长为，以A为圆心,r为半径作圆,PQ为直径，试判断P、Q在什么位置时，有最大值。 分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。 解： 图 2 1当且仅当与同向时，有最大值。 图 2 1 三、利用向量模的性质求解 例4：已知求的最大值与最小值。 分析：注意到，考虑用向量模的性质求解。 解：由条件知。 设，则=， ， 。 所以当与同向时，取最大值3；当与反向时，取最小值1。 四、利用几何意义，数形结合求解 例5、如图，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是 （A） （B） 图3 （C） （D） 图3 分析：平面向量数量积的几何意义为等于的长度与在方向上的投影的乘积。显然，由图可知，在方向上的投影最大，故选（A）。 例6、是两个夹角为1200的单位向量，且p+q=1（p、qR），则的最小值是 分析: 如图3，设则 EMBED Equation.3 即 因此点C在直线AB上，显然当OCAB时，最小，其最小值为。 COA C O A B 图4