正交表列效应的约束条件检验 - 多边矩阵.doc

正交表列效应的约束条件检验 潘长缘 陈雪平 张应山* （华东师范大学，金融与统计学院，上海，200241） 摘要 本文运用正交表各列矩阵像的分解技术，将各列平方和分解成相互独立的若干部分之和。利用这些分解得到的部分平方和，不仅可以解决饱和模型的统计分析问题，还能够对列显著但某些子成分不显著的列增加新的约束条件。 在正交设计领域，考察列效应的一般约束条件的检验问题是非常重要的。本文通过对一般约束条件进行转换，使其变成一个成分分解问题，再利用成分分解的相关结论，完满地解决了这一问题。 关键词：正交表，约束条件，投影矩阵，矩阵像，饱和模型 学科分类号：O212.6 一、引言 文[1]中给出了因子平方和的正交对照分解方法，该方法可以用于考查多因子方差分析。 本文集中讨论采用正交表各列矩阵像的分解技术，将各列平方和分解成若干部分之和。由于正交表各列间的正交性与各列对应的矩阵像之间的正交性等价以及各个子矩阵像(见文中定义)之间的正交性，因此使得各个部分平方和之间保持了相互独立性。 方差分析是正交设计不饱和模型中的重要方法之一，然而它对饱和模型几乎无能为力。对正交饱和模型，文[5]提出了非中心统计量和零效应有哪些信誉好的足球投注网站两种方法。本文利用分解得到的相互独立的部分平方和，通过构造相关统计量对饱和模型给出了一种新的统计分析方法——零成分有哪些信誉好的足球投注网站法。此外，对饱和和不饱和模型中某些列显著但其子成分(见文中定义)不显著的列增加了新的约束条件。 最后，本文考察了列效应的一般约束条件的检验问题。通过对一般约束条件进行转换，使其变成一个成分分解问题，再利用成分分解的相关结论，完满地解决了这一问题。 二、统计模型 按照正交表进行试验设计时，考虑主效应模型： (1) 一般约束条件为： 该模型可以记成向量形式： 对应自由度分解式为： 其中为第列自由度，， 记， 从而约束条件可以变为：为元素全为1的维列向量。 假设正交表各列对应的矩阵像依次为，总均值列对应的矩阵像为，这些矩阵像的定义见[2][3][4]。 因此，由矩阵像的定义，有如下分解式： (2) 对应的秩分解式为： 。 以上两个分解式与模型对应。也是投影矩阵，为0时是饱和模型，非0时是不饱和模型。 利用这些矩阵像，可以很方便求出各参数向量的最小二乘无偏估计值： （3） 总平方和：，各列平方和：，残差平方和：。当正交表不饱和时，用这些平方和可以进行方差分析。 三、列效应的成分分解 由于矩阵像是投影矩阵，而对投影矩阵，其特征值为0或1；对应于其特征值1的线性无关特征向量个数为其秩；这些特征向量可以正交规格化，因此对秩大于1的矩阵像，可将其分解成个秩为1的投影矩阵。具体做法如下： 先找出每个矩阵像对应特征值为1的正交规格化特征向量，从而有： . （4） 再令，因此均为秩为1的投影矩阵，对模型参数，记，不妨称其为的子成分，而称为设计的第j列的子矩阵像。这样，。 其中均为子矩阵像。根据这些子矩阵像，可以得到平方和，且。 由柯卡伦定理，各平方和之间相互独立。 正交表的每列都对应了一个参数向量和若干个子成分，如果某列对应的子成分中既有显著的又有不显著的，那么可以对这样的列增加一个约束条件，且该列自由度减少1，下面来具体推导一下约束条件的表达式。不妨假设第j列有不显著的子成分 (以后简称为零成分)，视为0，即，也即，，这就是所要求的约束条件。 由此不难发现，找出零成分是寻找约束条件的关键，后文将重点讨论如何识别零成分。 四、不饱和情形 对不饱和模型，由于有自由度对误差方差进行估计，因此可以应用方差分析的方法检验各列的显著性。本文将考虑各子成分的显著性检验问题： (5) 可以构造统计量对其进行检验（原假设成立时）。 五、饱和情形 如果正交表是饱和的，此时没有自由度对误差方差进行估计。文[5][7]中提出利用零效应有哪些信誉好的足球投注网站法可以对正交饱和效应模型进行统计分析。本文基于该文的部分结论，利用分解得到的n-1个子成分对饱和模型进行统计分析，找出这n-1个子成分中的零成分，该统计分析过程称为零成分有哪些信誉好的足球投注网站。 首先应该明确一点：零成分是一个相对的概念。统计意义上的零成分只是说把相对于其他子成分来说很小的那些子成分可以当作零成分来看待。假设这n-1个子成分都可以被看成零，因此这n-1个子成分独立同分布。将从小到大进行排序，得到n-1个次序统计量。依次用次序统计量构造统计量(可参阅文[5])，步骤如下： (1)；(2) 其中 这样构造的统计量具有以下优良性质（证明参见[5]）： 性质1：(1)；(2)固定时，关于为增函数；(2)当固定时，如果，那么关于为增函数，。 按照上述构造的统计量，找出中第一个比相应统计量临界值(通过Monte-Carlo方法给出)大的那个。那么，之前的那些次