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2012各省数学竞赛汇集 2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当时，函数的最大值为__18___. 2、在中，已知则___4____. 3、从集合中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为____________. 4、已知是实数，方程的一个实根是（是虚部单位），则的值为________. 5、在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，一条过原点且倾斜角为锐角的直线与双曲线交于两点.若的面积为，则直线的斜率为_______. 6、已知是正实数，的取值范围是________. 7、在四面体中，,,该四面体的体积为____________. 8、已知等差数列和等比数列满足：则______.（） 9、将这个数排成一列，使任意连续个数的和为的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为，三边均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为__24___. 二、解答题（本题80分，每题20分） 11、在中，角对应的边分别为，证明： （1） （2） 12、已知为实数，，函数.若. （1）求实数； （2）求函数的单调区间； （3）若实数满足，求证： 13、如图，半径为的圆上有一定点为圆上的动点.在射线上有一动点,.线段交圆于另一点，为线段的中点.求线段长的取值范围. 14、设是正整数，是方程的两个根.证明：存在边长是整数且面积为的直角三角形. 2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案 （高一年级） 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。） 1．已知集合N，且N，则 1 ． 2．已知正项等比数列的公比，且成等差数列，则． 3．函数的值域为． 4．已知，，则． 5．已知数列满足：为正整数， 如果，则 5 ． 6．在△中，角的对边长满足，且，则． 7．在△中，，．设是△的内心，若，则的值为． 8．设是方程的三个根，则的值为 －5 ． 二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9．已知正项数列满足且，，求的通项公式． 解 在已知等式两边同时除以，得， 所以 ． ------------------------------------------4分 令,则，即数列是以＝4为首项,4为公比的等比数列，所以. ------------------------------------------8分 所以,即 . ------------------------------------------12分 于是，当时, ， 因此, ------------------------------------------16分 10．已知正实数满足，且，求的最小值． 解 令，，则 ．----------------------------------------5分 令 ，则 ，且．------------------------------10分 于是 ． ------------------------------15分 因为函数在上单调递减，所以． 因此，的最小值为． ------------------------------------------20分 11．设，其中且．若在区间上恒成立，求的取值范围． 解 ． 由得，由题意知，故，从而，故函数在区间上单调递增. ------------------------------------------5分 （1）若，则在区间上单调递减，所以在区间上的最大值为． 在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，从而，解得或． 结合得． ------------------------------------------10分 （2）若，则在区间上单调递增，所以在区间上的最大值为. 在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，从而，即，解得． 易知，所以不符合． ------------------------------------------15分 综上可知：的取值范围为． -------------------------------