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二次函数、指数函数、对数函数 典型题例示范讲解 例1已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足abc,a+b+c=0,(a,b,c∈R)(1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B； (2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围 例的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3）. （1）若方程有两个相等的根，求的解析式； （2）若的最大值为正数，求a的取值范围. 例已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图像交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图像交于C、D两点 证明 点C、D和原点O在同一条直线上； (2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标 ，其中a0. （Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； （Ⅱ）若在区间上，f（x）0恒成立，求a的取值范围. 204.【2010·天津理数】已知函数， （Ⅰ）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，； （Ⅲ）如果，且，证明. 207.【2010·全国卷1理数】已知函数. （Ⅰ）若，求的取值范围； （Ⅱ）证明： . 210.【2010·湖南理数】已知函数对任意的，恒有. （Ⅰ）证明：当时，； （Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值. 213.【2010·湖北理数】 214.【2010·安徽理数】设为实数，函数。 ?(Ⅰ)求的单调区间与极值； (Ⅱ)求证：当且时，。 216．【2010·上海市卢湾区4月模拟考试】 如图，反比例函数（）的图像过点和，点为该函数图像上一动点，过分别作轴、轴的垂线，垂足为、．记四边形（为坐标原点）与三角形的公共部分面积为． 求关于的表达式； （2）求的最大值及此时的值． 217．【2010·北京宣武一模】已知函数 ⑴若为的极值点，求的值； ⑵若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值； ⑶当时，若在区间上不单调，求的取值范围． 【2010·石家庄市教学质量检测（二）】 已知函数，x∈R．（其中为m常数） （I）当m=4时，求函数的单调区间； （II）若函数y=f（x）在区间（1，+∞）上有两个极值点，求实数m的取值范围． 219．【2010·黄岗中学八月月考】已知 （1）若函数时有相同的值域，求b的取值范围； （2）若方程在（0，2）上有两个不同的根x1、x2，求b的取值范围，并证明 220．【2010·上海市奉贤区4月质量调研】已知函数, （1）求出函数的对称中心； （2）证明：函数在上为减函数； （3）是否存在负数，使得成立，若存在求出；若不存在，请说明理由. 221．【2010·黄岗中学八月月考】已知是定义在[-1,1]上的奇函数，且，若任意的，当时，总有． （1）判断函数在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论； （2）解不等式：； （3）若对所有的恒成立，其中（是常数），求实数的取值范围． 二次函数、指数函数、对数函数 典型题例示范讲解 例1已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足abc,a+b+c=0,(a,b,c∈R) (1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B； (2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围 (1)证明由消去y得ax2+2bx+c=0 Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+c2］ ∵a+b+c=0,abc,∴a0,c0∴c20,∴Δ0,即两函数的图象交于不同的两点 (2)解设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－,x1x2= |A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2　 ∵abc,a+b+c=0,a0,c0∴a－a－cc,解得∈(－2,－) ∵的对称轴方程是∈(－2,－)时，为减函数 ∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈()本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力解答本题的点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合 例的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3）. （1）若方程有两个相等的根，求的解析式； （2）若的最大值为正数，求a的取值范围. 解：（1）的解集为 ∴…………① 由方程……………… ② 因为方程②有两个相等的根，所以， 即 由于代入①得的解析式 （2）由 及 由 解得 故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是 点评：本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力. 例已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图像交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图像交于C、D两点