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§估计 基本题型Ⅰ 矩估计法 【例7.1】总体的概率密度函数为，求未知参数的 矩估计. 【分析】先由题设所给含有未知参数的随机变量概率密度求出数学期望，解出未知参数与数学期望的关系，再由样本一阶原点矩替换总体期望，即得参数的矩估计. 【解】为求未知参数用总体原点矩表示的式子，先求出 因而 在上式中用样本一阶原点矩替换总体一阶原点矩，即得未知参数的估计 . 【例7.2】设总体服从均匀分布，为来自此总体的样本，求的矩估计. 【分析】由于总体的分布中含有两个未知参数，故需要求出总体的两个矩，为简单起见，一般先求其一阶矩（即总体的期望）和二阶矩（也可以取总体的方差），然后按矩估计法相应的样本矩替换它们，得矩法方程，最后求解便可得到的矩估计. 【解】由于总体服从均匀分布，故总体的期望和方差分别为 由矩估计法，用替换，用替换，便得矩法方程组 ， 即 于是解出的矩估计分别为 ，. 【例7.3】设总体的概率密度函数为，求的矩估计. 【分析】由于总体的分布中只含有一个未知参数，但总体的一阶矩为常量，需要求总体的二阶矩，从而确定矩方程，最后求解的矩估计量. 【解】虽然总体只含有一个参数，但 不含，不能求解 故需求二阶原点矩 . 令，则有的矩估计量为. 基本题型Ⅱ 极大似然估计法 【例7.4】设总体具有概率密度函数，的极大似然估计量是 . 【分析】设为总体的观测值，则其极大似然函数为，对数似然函数为，解似然方程 得参数的极大似然估计值为，从而得参数的极大似然估计量为. 【例7.5】设总体的分布律为 又设为来自此总体的样本，记表示中取值为，的个数，求的极大似然估计. 【分析】求极大似然估计量时，关键是求似然函数，它是样本观测值的函数. 【解】设是样本的观测值，则参数的似然函数为 对数似然函数为 从而似然方程为 . 得的极大似然估计量. 【例7.6】设为总体的一个样本，求下列总体概率密度中的未知参数的极大似然估计,其中，为常数. 【解】设是样本的观测值，则参数的似然函数为 . 取对数 . 对参数求偏导，令其为0，则 . 显然，上式第二式不能求出参数的关系，但由定义，当固定时，要使最大，只需最大，因，则参数的似然估计值为，从而得参数的极大似然值为，故的极大似然估计量为，. 基本题型Ⅲ 评价估计量的标准（无偏性与有效性） 【例7.7】 样本取自总体，，则可以作为的无偏估计的是 【 】 当已知时，统计量. 当已知时，统计量. 当未知时，统计量. 当未知时，统计量. 【分析】当已知时， 为统计量，利用定义有 . 从而 ， 故 . 而 所以当已知时，入选，不能入选. 当未知时，样本函数，均不是统计量，因而不能作为的估计量，更不能作为无偏估计量. 选. 【例7.8】设是总体的简单随机样本，则下列不是总体期望的无偏估计 【 】 . . . . 【分析】要验证统计量是否为无偏估计，即验证. ； ； ； ； 选. 【例7.9】试证明均匀分布中未知参数的极大似然估计量不是无偏的. 【分析】 涉及总体分布时，先求估计量的概率密度（或分布律）. 【解】设是样本的观测值，则参数似然函数为 . 是的一个单值递减函数.由于每一个，最大次序统计量的观测值 在中要使达到极大，就要使达到最小.但不能小于，否则样本观测值就不是来自这一总母体，所以是的极大似然估计值.故最大次序统计量是参数的极大似然估计量. 为要证明估计量不是的无偏估计量，需求出，为此先求的概率密度. 因统计量为随机样本的最大值，而独立同分布，故的概率分布函数为，其中为总体的分布函数. 由的概率密度可知 . 因此 从而 . 即极大似然估计量不为参数的无偏估计. 【例7.10】若未知参数的估计量是，若称是的无偏估计量.设是未知参数的两个无偏估计量，若则称较有效. 【分析】由无偏估计量和有效性的定义可得. 【评注】估计量的有效性是在无偏估计类的基础上定义的，这一点也特别明确. 【例7.11】设总体，为总体的一个