北大随机过程课件：第_3_章_第_5_讲_更新过程.pdf

马尔可夫过程 更新过程 更新过程的基本概念 定义、更新过程的基本参数，参数间的关系 更新过程分析 计算 N(t) 的概率分布 计算更新过程的期望 计算更新过程的强度 计算更新过程的速率 典型更新过程-泊松过程 泊松过程的分布特性 更新时间间隔呈负指数分布的更新过程 事件间隔、更新时刻、计数过程 N(t) 、均值过程、更新过程的强度 更新过程举例： 例1、 给定一种更新间隔分布，计算更新过程N(t) 的概率分布 例 2 、给定更新强度，计算更新间隔的概率分布 例 3、给定更新间隔分布，计算更新过程的速率 例 4 、计算更新过程的速率 例 5、计算更新过程的速率 例６、事件间隔呈负指数分布的更新过程 1．更新过程的基本概念 1.1 更新过程定义 设{N(t), t0}是一个计数过程，xn (n ≥1) 表示第 n-1 次事件和第 n 次事件的时间间隔， 再设 { } x , x , 为非负、独立、同分布的随机变量序列，则称计数过程{N(t), t0}为更新过 1 2 程。 特点：根据事件间隔的特征(独立、同分布)定义； 举例： 假设灯泡的寿命是统计独立、同分布的随机变量，若每次使用一个灯泡，当灯泡损 坏后立刻更换新的，则在时间 t 内损害的灯泡数是一个更新过程{N(t), t0}，其中 N(t)是在时间 t 内损坏的灯泡数。 1.2 更新过程的基本参数及其关系 N(t) ：[0，t ）内发生的事件数，更新次数； x ：第n 次事件的更新间隔； n S ：第n 次事件的更新时刻； n S 与x 的关系： n n n Sn ∑xi ，S0 0 表示过程的起始时刻； i 1 若给定事件间隔xn (n ≥1) 的概率分布函数F(t) ，或概率密度函数 f(t) 时，设更新 n { } 时刻S 的分布函数是F (t) 、概率密度函数是f (t) ，因为S ∑x ，x , x , 为 n n n n i 1 2 i 1 非负、独立、同分布的随机变量序列，则F (t) 应是F (t) 的n 次卷积，f (t) 应是f (t) n n 的n 次卷积。 N(t)与S 的关系： n 如果S t ，则在时间t 内，至少发生了n 次更新，即 n p {Sn t } p {N (t ) =≥n } 如果在时间 t 内，发生了n 次更新，则Sn t , Sn+1 ≥t ，即 p {N (t ) n } p {Sn t ,Sn+1