同济大学高等数学第六版第七章第八节常系数非齐次线性微分方程.ppt

第 八节 一、 例1. 例2. 例3. 求解定解问题 二、 第一步 第二步 求如下两方程的特解 第三步 求原方程的特解 第四步 分析 小 结: 例4. 例5. 例6. 例7. 内容小结 思考与练习 2. 求微分方程 3. 已知二阶常微分方程 作业 * 常系数非齐次线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 二、 第七章 二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 非齐次方程特解 齐次方程通解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . ① — 待定系数法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ? 为实数 , 设特解为 其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 (1) 若 ? 不是特征方程的根, 则取 从而得到特解 形式为 为 m 次多项式 . Q (x) 为 m 次待定系数多项式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 若? 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 ? 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式, 故特解形式为 小结 对方程①, 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 即 即 当? 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别地 的一个特解. 解: 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为 代入方程 : 比较系数, 得 于是所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的通解. 解: 本题 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 比较系数, 得 因此特解为 代入方程得 所求通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入方程, 得 原方程通解为 例1 解: 本题 特征方程为 其根为 设非齐次方程特解为 代入方程得 故 故对应齐次方程通解为 原方程通解为 由初始条件得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 于是所求解为 解得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二步 求出如下两个方程的特解 分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为 第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用欧拉公式将 f (x) 变形 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 故 等式两边取共轭 : 为方程 ③ 的特解 . ② ③ 设 则 ② 有 特解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 : 原方程 均为 m 次多项式 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因 均为 m 次实 多项式 . 本质上为实函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对非齐次方程 则可设特解: 其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 对应齐方通解 作辅助方程 代入上式 所求非齐方程特解为 原方程通解为 （取虚部） 例2 的一个特解 . 解: 本题 特征方程 故设特解为 不是特征方程的根, 代入方程得 比较系数 , 得 于是求得一个特解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的通解. 解: 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 比较系数, 得 因此特解为 代入方程: 所求通解为 为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: (1) 特征方程 有二重根 所以设非齐次方程特解为 (2) 特征方程 有根 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为 求下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求物体的运动规律. 解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 当p ≠ k 时, 齐次通解: 非齐次特解形式: 因此原方程④之解为 第七节例1 (P323)中若设物体只受弹性恢复力 f 和铅直干扰力 代入④可得: ④ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时, 自由振动 强迫振动 当 p = k 时, 非齐