大学文科数学3-2 矩阵及其运算ppt.ppt

则方程组的矩阵形式为 由前面的例1知：A 可逆，且 所以方程组的解为 X＝A－1B，即 解：令 利用逆矩阵，求解线性方程组 例1 计算下列矩阵的乘积 例2 矩阵乘法不满足交换律！ 矩阵乘法不满足消去律！ 由矩阵乘法知： 即矩阵乘向量，结果将一个向量变成另一个向量；因此，可以看成是矩阵对向量做了某种变换，换言之，矩阵可以看作一个变换。 四、矩阵乘法的几何意义 在直角坐标系 xoy 中，一个二维列向量 (x, y)T，对应着平面上唯一的一点，也对应着平面上唯一的一条从原点到此点的有向线段（平面向量）；反过来说也正确。 1.矩阵的几何意义 设 从几何上看：在矩阵 A1 的作用下，V1, V2 以原点为中心逆时针旋转了900；因此，矩阵 A1 表示的是以原点为中心逆时针旋转900的变换。 例1 说明以下矩阵是何变换 从几何上看：在矩阵 A 的作用下，V 以原点为中心顺时针旋转了900；因此，矩阵 A 表示的是以原点为中心顺时针旋转900的变换。 练习 设 从几何上看：在矩阵 A2 的作用下，V1 向 y 轴正向压缩了0.5倍，V2 向 y 轴负向压缩了0.5倍；因此，矩阵 A2 表示的是向 y 轴方向（负向或正向）压缩0.5倍的变换。 例2 讨论以下矩阵是何变换（α,β 0） 矩阵 A1 表示的是向 y 轴方向（负向或正向）压缩α倍的变换； 矩阵 A2 表示的是向 x 轴方向（负向或正向）压缩α倍的变换； 矩阵 A3 表示的是向 x 轴方向（负向或正向）压缩α倍、 y 轴方向（负向或正向）压缩β倍的变换。 练习 矩阵变换的性质 由矩阵的线性运算性质，对于平面上的任意向量 U, V 及任意实数λ,μ，有 称满足上述性质的变换为平面向量的线性变换，即矩阵表示的是线性变换。 一般而言：任意一个 m×n 矩阵 A 乘以一个 n×1 列向量 X，得到一个 m×1 列向量 AX，可以看作是 A 将向量 X 变换成了向量 AX，称向量 AX 为向量 X 的像，而向量 X 是向量 AX 的一个原像。 矩阵的几何意义 线性方程组的矩阵表示 利用矩阵乘法和矩阵相等的含义，对含 m 个方程，n 个未知量的线性方程组（简称 m×n 线性方程组） 令 则线性方程组可表示为矩阵形式 系数矩阵 未 知 列 向 量 右 端 项 列 向 量 求解线性方程组的本质：对给定的变换 A，从已知像向量 B，寻找原像向量 X。 设 A, B 是两个2阶方阵，由于矩阵乘法满足结合律，则对任一向量 U＝( u1, u2 )T，有 即对任一向量 U，先作变换 B，得一向量 BU，再接着对此向量作变换 A，得一向量 A(BU)；与对向量 U 直接作变换 AB，得一向量 (AB)U，其结果是相同的，因此，乘积矩阵 AB 表示的是先经 B，再经 A 的接连的线性变换。 2.矩阵乘法的几何意义 矩阵乘法的几何意义 设 对 V 先作变换 A2 再作变换 A1表示：先将 V 向 y 轴负向压缩0.5倍，再以原点为心逆时针旋转900； 与对 V 直接作乘积变换 A1A2，所得结果完全一致。 例3 如果将例3中的变换改为先对 V 作变换 A1，再作变换 A2，问所得结果与例3是否一致？ 所得结果不一致。 说明：接连施行一些变换，所得结果与变换的次序有关，不能随意变更。 原因在于：矩阵乘法不满足交换律。 思考 五、矩阵的逆 1.逆矩阵的概念和性质 在数的运算中，若数 a≠0，则有 其中 a-1＝1/a 为 a 的倒数，也可称 a-1 为 a 对乘法运算的逆元素。 在矩阵的运算中，对矩阵方程AX＝B（A 是方阵），当 X 有解时，是否能表示成 X＝A-1B 如果可以，A-1 是何含义？ 概念的引入： 能否推广到矩阵： 定义5 对 n 阶方阵 A，如果存在 n 阶方阵 B，使得 则称 A 是可逆矩阵，并称 B 是 A 的逆（矩阵）。 易见：当 A 可逆时，其逆 B 也可逆，且 A 是 B 的逆。 若将矩阵 A 看作是线性变换，则他的逆 B 可看作是它的逆变换（还原）；反之，A 也可看作是 B 的逆变换。 若 A, B 互逆，则先作变换 B，再作变换 A，或先作 A，再作 B，相当于作了一个恒等变换 I。 设 变换 A 将任意向量 V 向 y 轴负向压缩0.5倍，