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马氏链模型 1 健康与疾病 2 钢琴销售的存贮策略 3 基因遗传 4 等级结构 马氏链模型 系统在每个时期所处的状态是随机的 从一时期到下时期的状态按一定概率转移 下时期状态只取决于本时期状态和转移概率 已知现在，将来与过去无关（无后效性） 描述一类重要的随机动态系统（过程）的模型 马氏链 (Markov Chain) ——时间、状态均为离散的随机转移过程 通过有实际背景的例子介绍马氏链的基本概念和性质 例1. 人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特定年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率为0.8, 而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7， 1 健康与疾病 人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变 保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计, 以制订保险金和理赔金的数额 若某人投保时健康, 问10年后他仍处于健康状态的概率 Xn+1只取决于Xn和pij, 与Xn-1, …无关 状态与状态转移 状态转移具有无后效性 设投保时健康 给定a(0), 预测 a(n), n=1,2… 设投保时疾病 n时状态概率趋于稳定值，稳定值与初始状态无关 ∞ 状态与状态转移 例2. 健康和疾病状态同上，Xn=1~ 健康, Xn=2~ 疾病 p11=0.8, p12=0.18, p13=0.02 死亡为第3种状态，记Xn=3 健康与疾病 p21=0.65, p22=0.25, p23=0.1 p31=0, p32=0, p33=1 设投保时处于健康状态，预测 a(n), n=1,2… 不论初始状态如何，最终都要转到状态3 ； 一旦a1(k)= a2(k)=0, a3(k)=1, 则对于nk, a1(n)=0， a2(n)=0, a3(n)=1, 即从状态3不会转移到其它状态。 状态与状态转移 马氏链的基本方程 马氏链的两个重要类型 1. 正则链 ~ 从任一状态出发经有限次转移能以正概率到达另外任一状态（如例1）。 w ~ 稳态概率 马氏链的两个重要类型 2. 吸收链 ~ 存在吸收状态（一旦到达就不会离开的状态i, pii=1）,且从任一非吸收状态出发经有限次转移能以正概率到达吸收状态（如例2）。 有r个吸收状态的吸收链的转移概率阵标准形式 R有非零元素 yi ~ 从第 i 个非吸收状态出发，被某个吸收状态吸收前的平均转移次数。 2 钢琴销售的存贮策略 钢琴销售量很小，商店的库存量不大以免积压资金 一家商店根据经验估计，平均每周的钢琴需求为1架 存贮策略：每周末检查库存量，仅当库存量为零时，才订购3架供下周销售；否则，不订购。 估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大，以及每周的平均销售量是多少。 背景与问题 问题分析 顾客的到来相互独立，需求量近似服从波松分布，其参数由需求均值为每周1架确定，由此计算需求概率 存贮策略是周末库存量为零时订购3架 周末的库存量可能是0, 1, 2, 3，周初的库存量可能是1, 2, 3。 用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化。 动态过程中每周销售量不同，失去销售机会（需求超过库存）的概率不同。 可按稳态情况（时间充分长以后）计算失去销售机会的概率和每周的平均销售量。 模型假设 钢琴每周需求量服从波松分布，均值为每周1架 存贮策略：当周末库存量为零时，订购3架，周初到货；否则，不订购。 以每周初的库存量作为状态变量，状态转移具有无后效性。 在稳态情况下计算该存贮策略失去销售机会的概率，和每周的平均销售量。 模型建立 Dn~第n周需求量，均值为1的波松分布 Sn~第n周初库存量(状态变量 ) 状态转移规律 … … 模型建立 马氏链的基本方程 已知初始状态，可预测第n周初库存量Sn=i 的概率 第n周失去销售机会的概率 模型求解 从长期看，失去销售机会的可能性大约 10%。 1. 估计在这种策略下失去销售机会的可能性 模型求解 第n周平均售量 从长期看，每周的平均销售量为 0.857(架) 思考：为什么这个数值略小于每周平均需求量1(架) ? 2. 估计这种策略下每周的平均销售量 敏感性分析 当平均需求在每周1 (架) 附近波动时，最终结果有多大变化。 设Dn服从均值为的波松分布 状态转移阵 当平均需求增长（或减少）10%时，失去销售机会的概率将增长（或减少）约12% 。 3 基因遗传 背景 生物的外部表征由内部相应的基因决定。 基因分优势基因d 和劣势基因r 两种。 每种外部表征由两个基因决定，每个基因可以是d, r 中的任一个。形成3种基因类型：dd ~ 优种D, dr ~ 混种H, rr ~ 劣种R。 基因类型为优种和混种, 外部表