初等数学方法建模实例(三).pptxVIP

2.3 初等数学方法建模实例(三) ——— 图解法;问题: 一个雨天，你有急事要从家到学校. 学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校. 假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿. 一个似乎很简单的事情是 你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间. ;但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力快跑不一定是最好的策略. 试建立数学模型, 探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度. ;模型假设：;符号说明：;总降雨强度： (|u – vx | + | vy | S + | vz | T ) l / u .;总降雨强度为： R(u) = (|u – vx | + a) l / u ， 其中，a = | vy | S + | vz | T . 不妨设 u 0，下面分两种情况讨论： vx 0： 若 u ≤ vx ， R(u) = (vx – u + a) l / u = (vx + a) l / u – l ; 若 u vx ， R(u) = (u – vx + a) l / u = (a – vx) l / u + l . ;若 u ≤ vx ， R(u) = (vx – u + a) l / u = (vx + a) l / u – l ; 若 u vx ， R(u) = (u – vx + a) l / u = (a – vx) l / u + l . ;R(u) 无最小值.;R(u) 最小值取 l .;总降雨强度为： R(u) = (|u – vx | + a) l / u ， 其中，a = | vy | S + | vz | T . 2. vx ≤ 0： R(u) = (u + |vx | + a) l / u = (|vx | + a) l / u + l . ;问题: 甲有玉米若干千克，乙有山羊若干只. 因为各自的需要，甲乙想交换彼此的东西，问怎样做才能完成交换活动？;模型一 模型假设：交换按照等价交换原则进行，不涉及其他因素. 模型构成： 设交换前甲有玉米 X 千克，乙有山羊 Y 只； 设交换后甲有玉米为 x 千克、山羊 y 只； 则交换后乙有玉米为 X – x 千克、山羊 Y – y 只.;设玉米的价格为每千克 p元， 山羊的价格为每只 q元， 按照等价交换原则，有 p(X - x) = qy (1) 若交换前甲乙拥有物品的价值相同，即 pX = qY， 则(1)式可以简化为 x/X + y/Y = 1.;模型二 模型假设：交换只与交换双方对所交换物品的偏爱程度有关,不涉及其他因素. 模型构成： 设交换前甲有玉米 X 千克，乙有山羊 Y 只； 设交换后甲有玉米为 x 千克、山羊 y 只； 则交换后乙有玉米为 X – x 千克、山羊 Y – y 只.;玉米;由于交换后某方认为同样满意的情况一般不是一种，比如对甲方来说，占有x1数量的玉米、y1数量的山羊与占有x2数量的玉米、y2数量的山羊可以达到同样的满意度，设为c1，因此有 f(x1, y1) = f(x2, y2) = c1.;类似，如果把甲在交换后的满意度c1改为c2，就得到另一条对甲无差别的曲线 f(x, y) = c2. 因此，甲有无数条无差别曲线，将所有这些无差别曲线表示为 f(x, y) = c，式中c称为在甲在点(x, y)的满意度.;虽然 f(x, y) 没有具体的表达式，但我们可以讨论一下这些无差别曲线的特点： 无差别曲线是彼此不相交的； 无差别取曲线是单调递减的； 满意度大的无差别曲线在满意度小的无差别曲线上方； 无差别曲线是下凸的 (为什么).;同样，可以得到对乙的无差别曲线 g(x, y)