数学文化第二讲.pdf

第二讲数学是什么 一、数学的“定义” 恩格斯：数学是研究（现实世界中）的数量关系与空间形 式的一门科学。 随着时间的推移，数学大大发展了，诸如事物的结构、数 理逻辑等，都成为数学的研究对象；这些，似乎不能包含在上 述定义中。人们在寻找数学的新“定义”。 但是，要给数学下个定义，并不那么容易。至今难以有关 于“数学”的、大家取得共识的“定义”。 08:09:32 1．古今数学家的说法 （美）R·柯朗（《数学是什么》）：“数学，作为人 类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念， 深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它的基 础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。” 08:09:32 08:09:32 2 ．数学的15个“定义” 15个“定义” 来自 08:09:32 只 讲解“哲学说”，其他只作一句话的解释，并请查资料。 哲学说 代表人物：来自古希腊，亚里士多德、欧几里得 等人。 亚里士多德： “新的思想家把数学和哲学看作是相同的。” 欧几里得《几何原本》：点是没有部分的那种东西； 线是没有宽度的长度 牛顿在《自然哲学之数学原理》的序言中说，他是把这本书“作为哲 学的数学原理的著作”，“在哲学范围内尽量把数学问题呈现出 来”。 08:09:32 两者虽有相似之处，但数学不是哲学的一部分，哲学也不 是数学的一部分。 现在有人说 “哲学从一门学科中退出， 意味着这门学科的 哲学从一门学科中退出， 意味着这门学科的 建立；而数学进入一门学科，就意味着这门学科的成 建立；而数学进入一门学科，就意味着这门学科的成 熟。” 熟。” 08:09:32 3 ．方延明及徐利治关于数学的“定义” 方延明：数学是研究现实世界中数与形之间各种形式模型的结构的 一门科学。 徐利治：数学是“实在世界的最一般的量与空间形式的科学，同 时又作为实在世界中最具有特殊性、实践性及多样性的量与空间形式的 科学”。 回到恩格斯的定义： 数学是研究（现实世界中的）数量关系与空间形式的一门科学。 08:09:32 [思]： 请你在学习“数学文化”课的过 程中，始终带着下面的问题——在学完 “数学文化”课后，给出一个你自己对 “数学”的定义。 08:09:32 二、数学的特点 1．抽象性 08:09:32 有的同学因数学的抽象性而感觉数学枯燥、难学； 其实，“抽象”是数学的武器，是数学的优势。 我们应该喜爱“抽象”，学会“抽象”的手段。 08:09:32 请你做下面的游戏：一笔画出如图1的图形来。 规则：笔不离开纸面，每根线都只能画一次。 08:09:32 这就是古老的民间游戏— 一笔画。 你能画出来吗？ 如果你画出来了， 那么请你再看图2 能不能一笔画出来？ 08:09:32 08:09:32 能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶 点。另一类是只有二个奇点的图形。图2有六个奇 点，四 个偶点，当然不能一笔画出来了。 08:09:32 哥尼斯堡七桥问题 18世纪初在普鲁士的哥尼斯堡城（哲学家康德出 生于此）有七座桥跨在普列格尔河上，它们将河 中两岛和两岸相互连接。 当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线， 可不重复地走遍七座桥。 08:09:32 数学思维 哥尼斯堡城 数学思维 而利用普通数学知识，每座桥均走一次，那这七 座桥所有的走法一共有5040种，而这么多情况， 要一一试验，这将会是很大的工作量。 1735年，有几名大学生写信给当时正在俄罗斯的 彼得斯堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮 忙解决这一问题。欧拉在亲自观察了哥尼斯堡七 桥后，认真思考走法，但始终没能成功，于是他 怀疑七桥问题是不是原本就无解呢？ 1736年2