数学物理方法_第7章 Green函数法.pdf

7.1 引言 Green函数，有时又称点源函数或者影响函 数，是数学物理中的一个重要概念。这概念 之所以重要是由于以下原因：从物理上看， 在某种情况下，一个数学物理方程表示的是 一种特定的场和产生这种场的源之间的关系 （例如热传导方程表示温度场和热源的关系， Poisson方程表示静电场和电荷分布的关系等 等），而Green函数则代表一个点源所产生 的场，知道了一个点源的场，就可以用叠加 的方法算出任意源的场。 例如，静电场的电势 u 满足Poisson方程 2  u 4 (7.1.1) 其中  是电荷密度，根据库仑定律，位于 M 0 点的一个正的点电荷在无界空间中的 M点处产生的电势是 1 G M M ( , 0 )  (7.1.2) r MM 0 由此可求得任意电荷分布密度为 M点所产生的电势为 (M 0 ) u(M ) dM G(M , M )(M )dM  r 0  0 0 0 (7.1.3) MM 0 其中dM0 为空间体积元dx dy dz 的简写。 0 0 0 式中的G(M, M ) 0 称为方程（7.1.1 ）左边 Laplace算符 2 在无界空间中的Green 函数，用它可以求出方程（7.1.1）在无界 空间的解式（7.1.3）。 在一般的数学物理问题中，要求的是满足 一定边界条件和（或）初始条件的解，相应 的Green函数也就比举例的Green函数要复杂 一些，因为在这种情形下，一个点源所产生 的场还受到边界条件和（或）初始条件的影 响，而这些影响本身也是待定的。 因此，普遍地说，Green函数是一个点源在 一定的边界条件和（或）初始条件下所产生 的场，利用Green函数，可求出任意分布的 源所产生的场。下面以Poisson方程的第一、 二、三类边界条件为例进一步阐明Green函 数的概念，并讨论Green函数法—解的积分 表示。 §7.2 Poisson方程的边值问题 三维Poisson方程的边值问题，可以统一写成  2  u(M ) h(M ), M , (7.2.1)   u   n u g(M ). (7.2.2)  S , 其中 是不同时为零的常数， 的边界。 S是 下面推导定解问题（7.2.1）— （7.2.2）用 Green函数表示的解的积分表达式， 引入函数 G(M , M0 ) 使之满足 2