数学解题技巧：导数.doc

第十讲 导数 【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1． 是的导函数，则的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] 故填3. 例2.设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由 综上可得MP时, 考点2 曲线的切线 （1）关于曲线在某一点的切线 求曲线y=f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线 若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题 例3.已知函数在区间，内各有一个极值点． （I）求的最大值； （II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式． 思路启迪：用求导来求得切线斜率. 解答过程：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根， 设两实根为（），则，且．于是 ，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16． （II）解法一：由知在点处的切线的方程是 ，即， 因为切线在点处空过的图象， 所以在两边附近的函数值异号，则 不是的极值点． 而，且 ． 若，则和都是的极值点． 所以，即，又由，得，故． 解法二：同解法一得 ． 因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）． 当时，，当时，； 或当时，，当时，． 设，则 当时，，当时，； 或当时，，当时，． 由知是的一个极值点，则， 所以，又由，得，故． 例4.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ） A． B． C． D． [考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为. 故选A. 例5．过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+=0相切的直线的方程为 ( ) A.y=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3x或y=x [考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]解法1：设切线的方程为 又 故选A. 解法2:由解法1知切点坐标为由 故选A. 例6.已知两抛物线, 取何值时，有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程. 思路启迪：先对求导数. 解答过程：函数的导数为，曲线在点P()处的切线方程为，即 　 ① 曲线在点Q的切线方程是即 　 ② 若直线是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是的方程，故得 ，消去得方程， 若△=，即时，解得，此时点P、Q重合. ∴当时，和有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为 . 考点3 导数的应用 中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题: 1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值（最值）; 5.构造函数证明不等式. 典型例题 例7．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　） A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个 [考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力. [解答过程]由图象可见,在区间内的图象上有一个极小值点. 故选A. 例8 .设函数在及时取得极值． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）若对于任意的，都有成立