数理方法第一章答案.pdf

第一章 复数与复变函数 习题一 1-1 求出下列复数的代数式 （3）(1cos i sin)n N 为正整数 解：思路：先化成指数或三角式，再利用复 数的乘方运算公式计算 设 z 1cos i sin 2 2 2   z (1cos) sin  2(1cos) 4 cos 2 cos 2 2   2 sin cos sin 2 2  tan(Argz ) tan 1cos 2  2 2 cos 2  可得Argz 2k  2 ，k 为任意整数 n n n  i(2kn ) z n (1cos i sin)n z einArgz 2 cos e 2 2 n n n  i  n n 2 cos e 2 2 cos (cos i sin ) 2 2 2 2 n n （4）（1+i）+ （1-i） n n = (√2)n (√2 + i √2) + (√2)n (√2 − i √2) 2 2 2 2 n n n n π π π π = 22 (cos 4 + i sin 4) + 22 (cos 4 − i sin 4) n π π n i n −i n π = 22 (e 4 + e 4 ) = 22 ∗ 2cos 4 n n π