数理方程与特殊函数 第一章 王元明版课件.pdf

数理方程与特殊函数 光电工程学院张晓芳2012.2-4 zhangxf@bit.edu.cn 引言 教材和参考书 课程要求 数理方程与特殊函数的意义及学科 发展历史 教材和参考书 教材： 《数学物理方程与特殊函数》（第三版） 南京工学院数学教研组 参考书： 《数学物理方法》，梁昆淼著，人民教育出版社 《数学物理方程解题指导》 胡嗣柱、徐建军编著，高等教育出版社 课程考核 考核方式： 闭卷书面考试+平时成绩 课程要求 （1）上课认真听讲、积极发言 （2）课前预习，课后复习 （3）独立完成作业，每周一交作业 什么是数理方程？ 质点的自由落体运动 位移随时间的变化 ∂2 u 2 g ∂t 自感电路的 电流滋长 电流随时间的变化 dI ε−L IR dt 研究某个物理量（位移、电流）怎样随时间变化 以时间为自变量的常微分方程 自变量的个数是两个或者两个以 上的微分方程称为偏微分方程 数理方程学科发展 微积分产生后，人们开始把力学中的一些问 题和规律归结为偏微分方程进行研究。 十八世纪初，弦振动问题归结为偏微分方程 并探讨了它的解法。 流体的运动 弹性体的平衡和振动 热传导 电磁相互作用 原子核和电子的相互作用 发展（续） 在研究物理现象的过程中，人们对偏微分方程的 性质也了解得越来越多，越来越深入，从而形成 了数学中得一门重要得分支——偏微分方程理论。 它既有悠久的历史，又不断地更新它的对象、内 容和方法。由于它直接联系着许多自然现象，所 以又不断地产生需要解决的新课题和新方法。 发展（续） 偏微分方程理论又不断地促进着许多相关的 数学分支（如泛函分析、复变函数、微分几何、 计算数学等）发展，并且从它们之中引进许多 强有力的解决问题的工具。 数理方程与特殊函数的意义及学科发展历史 数理方程 自然科学和工程技术的各门分支学科中出现的 一些偏微分方程（有时也包括积分方程、微分方 程等），它们反映了物理量关于时间的导数和关 于空间变量的导数之间的制约关系。例如连续介 质力学、电磁学、量子力学等等方面的基本方程 都属于数学物理方程的研究对象。数学物理方程 是纯粹数学的许多分支和自然科学各部门之间的 一个桥梁。 举例 1 波动方程 2 2 ∂ u 2 ∂ u 2 a 2 =+ f ( x, t ) ∂t ∂x 2 热传导方程 ∂u 2 ⎛∂2 u ∂2 u ⎞ a ⎜ 2 =+ 2 ⎟+ f ( x, y, t ) ∂t ⎝∂x ∂y ⎠ 2 2 2 3 拉