模糊数学基本理论及应用.ppt

第 1 章 模糊集的基本概念 §1.2 模糊理论的数学基础 经典集合 经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明,即一个元素x要么属于集合A(记作x?A),要么不属于集合(记作x?A)，二者必居其一. 集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集，记为?(A). 映射与扩张 二元关系 关系的三大特性： 关系的矩阵表示法 关系合成的矩阵表示法 合成(° )运算的性质： 关系三大特性的矩阵表示法： 下面证明： 集合上的等价关系 定理：集合X 上的任一个等价关系R可以确定X 的一个分类. 即 例 设X = {1, 2, 3, 4}, 定义关系 格 设(L,∨,∧)是一个格，如果它还满足下列运算性质： 若在具有最小元0与最大元1的分配格 (L,∨,∧)中规定一种余运算c，满足： 例1 任一个集合A的幂集?(A)是一个完全格. §1.3 模糊子集及其运算 模糊子集与隶属函数 模糊集的运算 模糊集的并、交、余运算性质 对偶律：(A∪B)c = Ac∩Bc， (A∩B)c = Ac∪Bc； §1.4 模糊集的基本定理 定理1 设A, B??(U ) (A, B是论域U 的两个模糊子集)，?,??[0,1]，于是有?-截集的性质： §1.5 隶属函数的确定 模糊统计方法 模糊集的应用 例1“老年”的隶属函数 设论域U=[0,200]在U上定义一个“老年”模糊集A。按现代社会的生活水平，不超过50岁肯定不是“老年”，超过了70岁，大家会认为是“老年”而在年龄区间[50,70]是一个过渡期。为了简化可令A(x)是一个线性函数（即偏大型）其解析表达式为  例2设论域U={水稻}，试用模糊统计实验建立A=“高产水稻”的隶属函数，由于全国各地的自然条件、生产水平不同人们对模糊概念“高产”的理解也不同，现在一般认为水稻（一季）亩产500kg就算高产了。我们想来自全国各地农村的123名学生进行问卷调查，在对他们说明高产水稻的含义以后，请他们填写下表 在收回询问表后做出统计，结果如下表所示 按累计频率可以做出A（高产水稻）的隶属函数 与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比喻为“变动的点”是否落在“不动的圈”内，则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“不动的点”. 2. 指派方法 一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。 3. 借用已有的“客观”尺度 在你认 为的高 产界限 下打“∨” 亩产/kg 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 * * 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法. 众所周知，经典数学是以精确性为特征的. 然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好. 例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”. 尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他信息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人. 模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用. 集合的表示法： (1)枚举法，A={x1 , x2 ,…, xn}； (2)描述法，A={x | P(x)}. A?B ? 若x?A，则x?B； A?B ? 若x?B，则x?A； A=B ? A?B且 A?B. 并集A∪B = { x | x?A或x?B }； 交集A∩B = { x | x?A且x?B }； 余集Ac = { x | x?A }. 集合的运算规律 幂等律： A∪A = A， A∩A = A； 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； 吸收律： A∪( A∩B ) = A，A∩( A∪B ) = A； 分配律：( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C )； ( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C )； 0-1律：A∪U = U ， A∩U = A ； A∪? = A ， A∩? = ? ； 还原律： (Ac)c = A ； 对偶律： (A∪