简单的优化模型(一).pptxVIP

3.1. 简单的优化模型 —— 微分法建模(一); 优化问题可以说是人们在工程技术、经济管理 和科学研究等领域中最常见的一类问题.; 微分法建模，就是利用微积分中讨 论函数极值的方法建模，从而得到问题 的优化结果.;问题: 如果企业的领导有权根据产品的成本和销售情况制定商品价格的话，他当然会寻求能使工厂利润达到最大的所谓最优价格. 试根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下建立确定商品价格的数学模型，使利润最大.;模型准备: 利润是销售收入与生产支出之差. 销售收入与销售量和每件产品的价格有关. 生产支出与生产量和每件产品的成本有关.;模型构成: 总利润 U = I – O = p x – q x . 目标：求 p 取何值时 U 达到最大值？ 在市场竞争的情况下，销售量 x 依赖于价格 p， x(p) 是关于 p 的减函数. 假设 x(p) = a – b p , a, b 0 . 当 p = 0 时，a 可理解为这种产品免费供应时 的社会需求量. 于是，不论成本 q 是否与 x 有关，收入和支出都是关于 p 的函数.;总利润 U(p) = I(p) – O(p) = p x(p) – q x(p) = (p - q) (a - b p). 目标：求 p 取何值时 U 达到最大值？; q / 2 : 成本的一半. a : 产品免费供应时的社会需求量 由 x(p) = a – b p , a, b 0， 则 b = – dx / dp . b: 价格上升一个单位时销量的下降 幅度(需求对价格的敏感度，称为“市场弹性系数”);问题: 消费者对甲乙两种商品的偏爱程度可以用无差别曲线族表示. 问消费者如何分配一定数量的钱，购买这两种商品，以达到最大的满意度.;已知甲乙两种商品的价格分别为 p1, p2, 消费者的资金总数为 s， 试分配s，购买甲乙数量 q1, q2 ，使 U(q1, q2)最大.;模型求解： ;;;效用函数应满足的条件;;;问题: 森林失火后，要确定派出消防队员的数量. 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小. 综合考虑森林失火产生的损失费，和派出消防员产生的救援费，确定派出消防员的数量.;模型准备: 损失费：通常正比于森林烧毁的面积； 森林烧毁的面积与灭火的时间有关； 灭火的时间取决于消防队员的数量. 救援费：分为两个部分，一部分是器材的消耗和队员的薪金，与消防员的数量和灭火时间有关，另一部分是运送队员和器材等的一次性支出，只与消防员的数量有关. ;模型假设：;符号说明： 失火时刻t = 0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2. 某一时刻t，森林被烧毁的面积为B(t). 烧毁单位面积森林的损失费为c1. 于是，总的损失费为：c1B(t2) . 每个消防队员单位时间的灭火费用为 c2, 每个队员的一次性支出是 c3 . 消防员的数量为 x. 于是，总的救援费为： c3x + c2x(t2 – t1) .;模型构成：;0 ? t ? t1, 森林烧毁的速度dB/dt 与t成正比.;t1 ? t? t2,森林烧毁的速度dB/dt = (? -?x)t，其中?为队员的平均灭火能力. 显然有 ? ?x .;总的损失费为：c1B(t2) .;总的费用为：;目标：求 x使 C(x)最小.; ? /? 是为了把火扑灭所必需的最少队员数.;问题: 血液在动物的血管中不停流动，为了维持血液循环，动物的机体需要给自己提供能量. 能量的一部分用于供给血管壁以营养，另一部分用来克服血液流动受到的阻力. 动物在长期进化过程中，血管的几何形状应该向消耗能量最小的方面转变. 事实上，有研究发现，动物的血管分支角度几乎是固定的. 研究在能量消耗最小原则下，动物血管分支处粗细血管半径的比例以??分岔的角度.;模型假设：;;血液对血管壁提供的能量随管壁的内表面积及管壁所占体积的增加而增加. 管壁的厚度近似与血管半径成正比. —— 生物上的假设;模型构成：;;机体为血流提供的总能量：;