清华大学 物理中的数学方法第二次作业...pdf

物理中的数学方法第二章作业 1. 证明：每一个收敛点列一定是柯西序列。 证明：设x,x (n 1,2,...) X 是收敛点列，我们可以得到给定，存在N ，使得m,n N 时， n (x,x ) ,(x,x )  。 n m 又因为三角形不等式(x ,x ) (x,x ) (x,x ) 2 n m n m 又因为 是无穷小量，所以 也是无穷小量。  2 也就是(x ,x ) , 2 ，所以X一定是柯西序列。证毕！ n m 8 若x ,x ,...x 是m维内积空间中任一正交规一集，对于该空间中的任意向量 1 2 m m x 和y，证明帕赛瓦尔等式：(x, y ) (x, x )(x , y ) .注意这是在有限维情况下的证 i i i 1 证明： m m (x , y ) ( (x, x )x , (x, x )x ) i i j j i 1 j 1 m m (x , x ) (x, x )x x i j i j i 1 j 1 i j时 m (x , x )(x, x ) i j i 1 证毕！！ 9 ． 由例10 知设X C [0,2] ，则A {1,sinx ,sin 2x ,...,sinnx }是一线性无关组.定义 2 * 该空间中两个连续函数f 1(x ),f 2(x ) 的内积为(f 1, f 2 ) f 1(x )f 2 (x )dx 证明这组 0 基是正交但不规一的.正交规一基组应该写成什么形式？ 证明：正交性： 设f 1(x ) sinnx ,f 2(x ) sinmx ;n 、m 0,1,2... 所以： 2 2 * (f 1, f 2 ) f 1(x )f 2 (x )dx sinnx sinmxdx 0 0 2 cos(n m)x cos(n m)x dx 0 2 1 1 2 1 2 [ sin(n m)x 0 sin(n m)x 0 ] 2 n m