立体几何中的与球有关的内切、外接问题.ppt

专题：与球有关的内切与外接问题 * 1、若球的大圆面积扩大为原来的 2 倍，则 球的体积比原来增加了 ___________ 倍； 2、两个半径为 1 的铁球，熔化后成铸成一 个球，这个大球的半径为 _________。 练习： * 二、球与多面体的接、切 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球。 一、复习 球体的体积与表面积 ① ② * 球与正方体的“接切”问题 典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比. 画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面 找准数量关系 * 练习：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比 . A B C D D1 C1 B1 A1 O A B C D D1 C1 B1 A1 O * 1. 已知长方体的长、宽、高分别是 、 、1 ，求长方体的外接球的体积。 变题： 2. 已知球O的表面上有P、A、B、C四点，且PA、PB、PC两两互相垂直，若PA=3,PB=4,PC=5，求这个球的表面积和体积。 沿对角面截得： A C B P O * 半球的半径为R，一正方体的四个顶点在半球的底面上，另四个顶点在球面上，求正方体的棱长 * 四面体与球的“接切”问题 典型：正四面体ABCD的棱长为a，求其内切球半径r与外接球半径R. 思考：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？ 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法 * 练习:一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点 在同一球面上，则此球的表面积（ ） A 3л B 4л C D 6л ● ● C 解：设四面体为ABCD， 为其外接球心。 球半径为R，O为A在平面BCD上的射影，M为CD的中点。 连结B A · ● ● O ● ● B D A M R * 练习:一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（ ） A 3л B 4л C D 6л 解法2 构造棱长为1的正方体，如图。则A1、C1、B、D是棱长为 的正四面体的顶点。正方体的外接球也是正四面体的外接球，此时球的直径为 ， 选A * 例3、如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径, 求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二. O 证明: R (1)设球的半径为R, 得: 则圆柱的底面半径为R,高为2R. (2) 2 2 2 6 2 4 R R R S p p p = + = 圆柱全 Q * 练习1：（1）已知正四棱锥的底面边长为4，高与斜高的夹角是30°，求它的表面积和体积。 练习4：已知正四面体的顶点都在表面积为36π的球面上，求这个正四面体的体积。 * 课时小结: 解决与球有关的内切与外接问题的 关键是： 通过寻找恰当的过球心的截面, 把立体问题转化为平面问题, 通过解三角形求出球的半径R. * A B C D A1 B1 C1 D1 B1 C1 A1 B O H 三棱锥体积的应用——求点到直线的距离 * 平行于圆锥底面的平面，把圆锥的高三等分，则圆锥被分成三部分的体积之比为（ ） （A）1∶2∶3 （B）1∶4∶9 （C）1∶7∶19 （D）1∶8∶27 V A1 A2 A B B2 B1 O1 O2 O V A1 A2 A O1 O2 O 锥体中的比例问题 * E F C B A D 如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD 是边长为3 的正方形，EF//AB，EF= ，EF 与 面AC的距离为2，则该多面体的体积为　（　　） (A) (B) 5 (C) 6 (D) G H 练习 * * *