第1章 现代控制理论.ppt

* * * * * f * * * * * * * * * J * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 7 * * * * 1 j 1 T=(P。，P2， …，P。) (1．47) ／ 证明如下： ‘ 1)由于特征值A。，A：，…，A。互异，故特征矢量P。，P：，…，P。线性无关，从而 由它们构成的矩阵T=(P。P： …P。)必为非奇异，即F一存在，从而可将： Tz=ATz+Bu 两边乘F～，有： * * * * 1 * * 1.6.2 子系统在各种连接时的传递函数阵 实际的控制系统，往往由多个子系统组合而成，或并联，或串联，或形成反 馈连接。现仅以两个子系统作各种连接为例，推导其等效的传递函数阵。 设系统1为： （72） 简记为： 设系统2为： 简记为： 1．并联连接 所谓并联连接，是指各子系统在相同输入下，组合系统的输出是各子系 统输出的代数和，结构简图如下图所示。 由式(72)和式(73)，并考虑 得系统的状态空间表达式： （72） 设系统2为： 从而系统的传递函数阵为： 故子系统并联时，系统传递函数阵等于子系统传递函数阵的代数和。 2．串联连接 串联连接下如图所示。读者可自己证明，其串联连接传递函数阵为： （作业） 即子系统串联时，系统传递函数阵等于子系统传递函数阵之积。但应注 意，传递函数阵相乘，先后次序不能颠倒。 3．具有输出反馈的系统 如下图所示，由图可得： 即 从而系统的传递函数阵为： 这里又遇到分块求逆的问题，假定： 故有： 从而得： 由上两式解得： 即 于是： 所以有： 同理也可求得： 1.7 离散时间系统的状态空间表达式 连续时间系统的状态空间方法，完全适用于离散时间系统。类似在连续 系统中，从微分方程或传递函数建立状态空间表达式，叫系统的实现。在离 散系统中，从差分方程或脉冲传递函数求取离散状态空间表达式，也是一种 实现。 相应地，系统传递函数为： (78) 设系统差分方程为： (77) 实现的任务就是确定一种状态空间表达式： (79) 在认为两相邻采样时刻， 不变的条件下，式(79)的状态空间表达式也可 以用模拟结构图(下图)表示。下图中T 代表单位延迟器，类似于连续系统中 的积分器。 实现是非唯一的，较简单的实现见下图所示的模拟结构图。图中 为 已知参数， 为待定常数。以每个延迟器的输出作为一个状态变量，可得： 矢量矩阵形式的离散状态空间表达式为： 式中 的求法，类似于1.4节中式(34)求 的计算公式，即： 多变量离散状态空间表达式为： 1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式 1.8.1线性时变系统 以上讨论的只是定常系统，其特征是它的状态空间表达式中的A、B、C、 D等矩阵的元素既不依赖于输入、输出，也与时间无关。 线性时变系统有： 它们的元素有些或全部是时间t的函数。 线性时变系统的状态空间表达式为： （81） 从高阶线性时变微分方程推演出状态空间表达式的方法，类似于前述线 性定常系统。 1.8.2 非线性系统 非线性的动态特性是用如下的n个一阶微分方程组描述的： 用矢量矩阵表示，则为： （83） 式中， 为矢量函数； 为 的元素。 如果式(82)或式(83)中不显含时间t，则为时不变非线性系统，而为： （84） 设 是满足非线性方程式(84)的一组解，即 （85） 如果我们只局限于考察输入 偏离 为 时，对应于它， 也 偏离 也偏离 时的行为，则可以通过对系统的一次近 似而予以线性化。为此，将 附近作泰勒级数展开： （86） 它们分别是n×n，n x r，m x n，，n x r维矩阵，其相应定义如下： 忽略仪 高次项，考虑到式(85)，则式(86)的线性 化表达式为： 令 并在式(87)中将 这些微增量分别用 表示，则线 性化后的表达式就成了一般线性表达式了，即 本章完 * * *