第3章印度与阿拉伯的数学.ppt

如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么古代印度数学则更多地受到其宗教的影响．雅利安人建立的婆罗门教(公元4世纪后改革为印度教)，以及稍后(公元前6世纪)兴起的佛教、耆那教等，形成了古代印度数学发展的浓厚的宗教氛围． 3.1.2 印度的代数 印度人对代数学作出了重大贡献.他们用缩写文字和一些记号来描述运算.加法不用记号，被减数上面加个点表示减法.已知的整数，前面冠以rū(来自绝对数rūpa一词)；未知数称为yāvat tāvat，用音节yā来表示.如果遇到几个未知数，那么用各种颜色来区别：kā(kālaka，黑色的)、nī(nīlaka,蓝色的)、pī(pītaka，黄色的)、lo(lohitaka，红色的)等等.未知数的二次幂用varga一词的va这个音节来表示. 在不定方程方面，印度学者取得了很大成就，他们建立了自己的独特方法．这种方法出现在婆罗摩笈多和婆什迦罗Ⅱ的著作中，即所谓的“扩散法”或“研细法”． * * 3、印度与阿拉伯数学 3、印度与阿拉伯数学 3.1 印度数学 古印度的地理范围不限于今天的印度，而是指整个次大陆，即包括今天的印度、巴基斯坦、孟加拉、尼泊尔、不丹等国。我国的《史记》和《汉书》称之为“身毒”，《后汉书》称之为“天竺”，唐代玄奘在其《大唐西域记》中改称为“印度”。显然，这个名称是从印度河的名称引申而来的。 公元3世纪至公元12世纪，出现了一些著名的数学家，如阿利耶波多(AryabhataⅠ，约476一550)、婆罗摩笈多(Brahmagupta，598—665)、马哈维拉(Mahavira，9世纪)和婆什迦罗(BhaskaraⅡ，1114一约1185)等． （一）阿耶波多 阿耶波多是现今所知有确切生年的最早的印度数学家，他只有一本天文数学著作《阿耶波多历数书》(499)传世．该书最突出的地方在于对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。 阿耶波多把半弦与全弦所对弧的一半相对应(见图)，成为今天的习惯，同时他以半径的 作为度量弧的单位，实际是弧度制度量的开始．他还给出了第一象限内间隔为3o45’的正弦差值表． 阿耶波多最大贡献是建立了丢番图方程求解的所谓“库塔卡”(kuttaka，原意“粉碎”)方法，采用辗转相除法的演算程序，接近于连分数算法． (二)婆罗摩笈多 婆罗摩笈多的两部天文著作《婆罗摩修正体系》(628)和《肯德卡迪亚格》(约665)，都含有大量的数学内容，其代数成就十分可贵． ●比较完整地叙述了零的运算法则 ●利用二次插值法构造了间隔为15°的正弦函数表 ●获得了边长为 的四边形的面积公式（有误）： 实际上这一公式只 适用于圆内接四边形，婆罗摩笈多未意识到这一点，后来马哈维拉，由这一公式出发将三角形视为有一边为零的四边形，得到了海伦公式。 (三)马哈维拉 7世纪以后，印度数学出现了沉寂，到9世纪才又呈现出繁荣．如果说7世纪以前印度的数学成就总是与天文学交织在一起，那么9世纪以后发生了改变． 耆那教徒马哈维拉的《计算方法纲要》(The Ganita-Sāra-Sangraha)可以说是一部系统的数学专著，全书有9个部分：(1)算术术语，(2)算术运算，(3)分数运算，(4)各种计算问题，(5)三率法(即比例)问题，(6)混合运算，(7)面积计算，(8)土方工程计算，(9)测影计算． ●给出了一般性的组合数 公式 ●给出椭圆周长近似公式： (四)婆什迦罗 婆什迦罗是印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家，长期在乌贾因负责天文台工作．他有两本代表印度古代数学最高水平的著作《莉拉沃蒂》(Līlāvatī)和《算法本源》，天文著作有《天球》和《天文系统之冠》． 《莉拉沃蒂》共有13章：第1章给出算学中的名词术语；第2章是关于整数、分数的运算，包括加、减、乘、除、平方、开平方、立方、开立方等；第3章论各种计算法则和技巧；第4章关于利率等方面的应用题；第5 章数列计算问题，主要是等差数列和等比数列；第6章关于平面图形的度量计算；第7至10章关于立体几何的度量计算；第11章为测量问题；第12章是代数问题，包括不定方程；第13章是一些组合问题． ●能够熟地使用诸如和差与半角等三角公式 ●能够认识并广泛使用无理数 3.1.1 印度的算术 关于公元前2世纪至公元后3世纪的印度数学；可参考资料也很少，所幸于1881年在今巴基斯坦西北地区一座叫巴克沙利(Bakhashali)的村庄，发现了这一