第4章 线性定常系统的线性变换.ppt

习题9-20 已知系统的传递函数为 。再在n维实数空间中任意选取尽可能简单的(n-l)个n维行向量 ，使它们和 线性无关。这样就可以构成n×n非奇异变换矩阵 对于上述不完全可观测系统，进行非奇异线性变换 即可得到系统按可观测性分解的规范表达式： 式中： 为l维可观测状态子向量， 为(n- l)维不可观测状态子向量，并且 展开写有： 则可观测子系统动态方程为： 不可观测子系统动态方程为： 图4-2 可观测性规范分解方块图 例4-4： 试将例4-2所示系统按可观测性进行分解。已知系统(A,B,C)，其中 解：n=3，系统的可观测性判别矩阵为： 故系统不完全可观。 从V中选取两线性无关行向量 和 ， 再选取一个与之线性无关的行向量 ，构成非奇异线性变换矩阵： 则： 即可得到系统按可观测性分解的规范表达式： 可观测子系统动态方程为： 不可观子系统动态方程为： 四、系统结构的规范分解（可控性可观测性结构分解） 对于不完全可控和不完全可观测的n维系统状态空间描述： ， 。实现系统结构的规范分解：可先对其按可控性进行分解，然后再分别对得到的可控子系统和不可控子系统按可观测性进行分解，则可找到一个非奇异矩阵P，做变换 ，实现按可控性可观测性结构分解。 具体实现过程： 1) 先对系统进行可控性分解，即引入状态变换 式中 基于系统可控性矩阵来构造。 2）对可控子系统进行可观测性分解，即引入状态变换 式中 基于可控子系统的可观测性矩阵来构造 。 3）对不可控子系统进行可观测性分解，即引入状态变换 式中 基于不可控子系统的可观测性矩阵来构造。 4）综合上面三次状态变换，有下列状态变换关系 引入P-1变换，做变换 ，即可将系统分解为： 使系统结构分解为： 可控可观测子系统的动态方程： 可控不可观测子系统的动态方程： 不可控可观测子系统的动态方程： 不可控不可观测子系统的动态方程： 注意：由信号的传递关系可知,系统的传递函数矩阵为： 上式说明线性定常系统的传递函数矩阵与其可控可观测子系统的传递函数矩阵相同，这体现了系统状态空间描述与输入—输出描述的一个重要关系，即输入—输出描述只能反映系统的既可控又可观测部分，它是对系统的一个不完全描述。只有当系统为可控且可观测时，输入—输出描述对系统的表征才是完整的。 例4-5 ：设不可控且不可观测系统的动态方程为 试对系统作可控可观测性规范分解。 解：1）系统按可控性分解。系统可控性判别阵： 系统不完全可控，可控状态的维数为2。 选取进行可控性分解的变换阵： 则： 故有： 其中可控子系统为： 不可控子系统为： 2)不可控子系统是一维的。输出方程 是可观测子系统，故令： 3）可控子系统的可观性规范分解。首先确定系统可观测状态的维数。系统可观测性判别阵： 可控子系统不完全可观测，可观测状态的维数为1。构造可观测性分解变换矩阵： 可观性规范分解的变换矩阵为： 则引入变换 ，即对按可控性分解后的系统按可观测性分解，得： 即系统按可控可观测性分解的结果为： 原系统分解为 三部分。 4.3 最小实现（补充） 1．定义：对于传递函数矩阵G(s)的一个维数最低的实现，称为G(s)的最小实现或不可约简实现。 2．定理：设(A,B,C)为传递函数矩阵的一个n维实现，则其为最小实现的充要条件是{A,B}可控且{A,C}可观测。 3. 对SISO系统，如何直接利用传递函数确定最小实现？ 设单输入单输出线性定常系统(A,b,c)的传递函数为： 式中： 是系统的特征多项式； ，其中adj(sI-A)为特征矩阵sI-A的伴随矩阵。 定理：系统实现(A,b,c)为最小实现，即为可控且可观测的充要条件是， 与 互质。 4．对于传递函数矩阵G(s)，在不同的实现之间，一般情况下不是代数等价的，但在不同的最小实现之间，则一定是代数等价的。 设系统状态完全可控且完全可观, 试求a的范围。 解：可控标准型实现，检查可观性： 解 得 a1 = 1； a2 = 2； a3 = 4； 答案：只需a1 ≠ 1 、 a2 ≠