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1 第5章 回溯法 计算机与信息工程学院 第五章 回溯法 (Back tracking) 1、穷举法应用：有限离散问题总可以用穷举法求得问题的全部 0-1背包问题(0-1Knapsack Problem ) 设有n个物体和一个背包,物体i的重量为wi价值为pi背包的载荷为M, 若将物体i(1≤ i ≤n,)装入背包,则有价值为pi . 目标是找到一个方案,使得能放入背包的物体总价值最高 若取W= (16,15, 15), P= (45,25, 25), C=30 穷举法求解相当于分别计算每个可能解，再求最优解 例如 取N=3 , 问题所有可能的解为： (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1) 时间复杂性: O(2n) 2、穷举法改进 对于某些组合难题的较大实例，我们可以用穷举法求解，但穷举法的规模较大，所以我们对它进行改进，提出了回溯法和分支界限法两种算法设计技术。 两种技术的区别在于他们能处理的问题类型不同，分支界限法只能应用于最优问题，而回溯法可以有哪些信誉好的足球投注网站任何问题的所有解和任一解。 4 有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么解是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使用回溯法。 回溯法的基本做法是有哪些信誉好的足球投注网站，或是一种组织得井井有条的，能避免不必要有哪些信誉好的足球投注网站的穷举式有哪些信誉好的足球投注网站法。这种方法适用于解一些组合数相当大的问题。 回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发有哪些信誉好的足球投注网站解空间树。 回溯法 5 问题的解空间 问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n元式(x1,x2,…,xn)的形式。 显约束：对分量xi的取值限定。 隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。 解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的一个解空间。 注意：同一个问题可以有多种表示，有些表示方法更简单，所需表示的状态空间更小（存储量少，有哪些信誉好的足球投注网站方法简单）。 例如（0-1背包问题）：取N=3 , 问题所有可能的解 (解空间)为: (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1) 解空间树：通过对所做的选择结构构造一棵解空间树，树根代表了在查找解之前的初始状态。树的第一层节点代表对解的第一个分量所做的选择，第二层节点代表了对解的第二个分量所做的选择，以此类推。 如果一个部分构造解（子树）仍然有可能导致一个完整解，我们说这个部分解在树中的相应节点是有希望的。否则说是没希望的。 叶子要么代表没希望的，要么代表算法找到完整解。 解空间树 若取W= (16,15, 15), P= (45,25, 25), C=30 例如 取N=3 , 问题所有可能的解为(解空间): (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1) 0-1背包问题解空间树 可表示为一棵3层的完全二叉树 求解过程相当于在树中有哪些信誉好的足球投注网站 满足条件的叶结点. 8 相关概念 扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点 活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活结点 死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点 深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽有哪些信誉好的足球投注网站之后，将R重新变成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在） 回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根节点出发有哪些信誉好的足球投注网站解空间树。算法有哪些信誉好的足球投注网站至解空间树的任一节点时，先判断该节点是否包含问题的解。 如果肯定不包含，则跳过对以该节点为根的子树的有哪些信誉好的足球投注网站，逐层向其祖先节点回溯。 否则，进入该子树，继续按深度优先策略有哪些信誉好的足球投注网站。 回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根节点的所有子树都已被有哪些信誉好的足球投注网站遍才结束。 回溯法求解问题的一个解时，只要有哪些信誉好的足球投注网站到问题的一个解就可以结束。 这种以深度优先方式系统有哪些信誉好的足球投注网站问题解的算法称为回溯法。 有哪些信誉好的足球投注网站策略 回溯法举例： 若取W= (16,15, 15), P= (45,25, 25), C=30 回溯法举例： [旅行商问题] 在这个问题中，给出一个n 顶点网络（有向或无向），要求找出一个包含所有n 个顶点的具有最小耗费的环路。任何一个包含网络中所有n 个