第一轮总复习课件(理数)：第46讲 不等式证明的基本方法新课标高中数学.ppt

课件制作 16：03 题型一 利用比较法证明不等式 例1 设a、b∈R,求证：a2+b2≥ab+a+b-1. 这是一个整式不等式，可考虑用比较法，在配方过程中应体现将a或b看成主元的思想，在这样的思想下变形，接下来的配方或因式分解相对容易操作. (证法一)作差法. a2+b2-ab-a-b+1=a2-(b+1)a+b2-b+1 =(a-b+ )2+ b2- b+ =(a- )2+ (b-1)2≥0. (证法二)构造法. 记f(a)=a2-(b+1)a+b2-b+1, 因为二次项系数为正， 所以Δ=(b+1)2-4(b2-b+1)=-3(b-1)2≤0， 所以f(a)≥0，即a2+b2≥ab+a+b-1. 题型二 利用综合法证明不等式 例2 已知a、b、c为不全相等的正数，求证： + + ＞3. 欲证不等式，右边为常数，左边为轮换对称式，故想到将左边拆项，使用均值不等式. （证法一）左边=( + )+( + )+( + )-3. 因为a、b、c为不全相等的正数， 所以 + ≥2, + ≥2, + ≥2,且等号不同时成立， 所以( + )+( + )+( + )-3＞3, 即 + + ＞3. (证法二)左边=( -2)+( -2)+( -2) =(a+b+c)( + + )-6. 因为a、b、c为不全相等的正数， 所以(a+b+c)( + + )-63 ·3 -6=9-6=3, 即 + + 3. 3 3 (1)两种证法的差别在于不等式的左端实行不同的恒等变形，其目的都是为了有效地利用有关的基本不等式，这是利用基本不等式证明不等式的一个难点.“变形”的形式很多，常见的是拆、并项，也可乘一个数或加上一个数等. (2)常见已证过的不等式有以下几种形式： ①a2≥0(a∈R); ②|a|≥0(a∈R); ③a2+b2≥2ab(a、b∈R)的变形有： a2+b2≥2|ab|≥±2ab,a2+b2≥ (a+b)2, (a+b)2≥4ab, ≥( )2; ④ ≥ (a0,b0)及其变形 + ≥2(ab0), + ≤-2(ab0); ⑤a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 不必死记公式变形，但应敢于对公式进行等价变形，善于应用变形证明不等式. 利用分析法证明不等式 题型三 利用分析法证明不等式 例3 已知ab0,求证： - . 所证不等式的形式较复杂（如从次数看，有二次、一次、12次等），难以从某个角度着手，故考虑用分析法证明，即执果索因，寻找不等式成立的必要条件.实际上就是对所证不等式进行适当的化简、变形，这种变形在相当多的题目里都是充要的. 欲证 ＜ - ＜ 成立, 只需证 ＜a+b-2 ＜ ， 只需证 ＜( - )2＜ ， 只需证 ＜ - ＜ , 即证 ＜1＜ ,只需证1+ ＜2＜1+ , 即证 ＜1＜ ，只需证 ＜1＜ . 因为a＞b＞0,所以 ＜1＜ 成立， 从而，有 ＜ - ＜ . 分析法的步骤是未知→需知→已知，在操作中“要证”“只需证”“即证”这些词是不可缺少的. 题型四 利用反证法证明不等式 例4 设f(x)=x2+px+q，则|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中是否至少有一个不小于 ?并证明你的结论.