第二章 窗口Fourier 变换与连续小波变换2.ppt

是由 平移和收缩得到的， 也有相应的量， 记为： 则有： (式2-33) 连续小波函数窗口的“变焦”特性： 由(2．33)式可见，时窗、 频窗的中心和宽度随a、b变化而变化，当a增大时，小波变换时窗宽度变宽，而频窗宽度变窄，且分析的中心频率向低频处移动，但时-频窗口的面积不随a、b变化而变化；当a减小时，变化相反。这和Gabor变换是不同的。 小波变换的时频窗可用下图表示： * 第二章 窗口Fourier 变换与连续小波变换 （1）时一频局部化的要求 Fourier 分析能有效地分析平稳信号，能通过频谱函数方便地指明平稳信号的主要谐波成分．然而，在实际应用中，我们常需要分析频域特性随时间变化的非平稳信号，如音乐信号、语音信号、探地信号等，需要了解某些局部时域信号所对应的主要频率特性，也需要了解某些频率的信息出现在哪些时间段上．上述情形都提出了关于短时段时域信号所对应的局部频域特性，即时一频局部化的要求． （2） Fourier 分析的不足 Fourier 分析对时一频局部化要求是无能为力的。只要仔细观察分析Fourier变换表达式即可明白其中的原因 ，时域中某点的局部变化会影响频域全局；同样，频域中的某点的局部变化也会影响到全部时域．因此，Fourier 分析方法没有时一频局部化功能． §2 . 1 窗口Fourier 变换 窗口Fourier 变换也叫Gabor 变换，是Gabor在1946 年提出的，可用来分析某些非平衡信号在某局部时段的主要频率特性和某些频率出现在哪些时段上。 定义2.1 设 g(x)满足: ,则称: (式2-1) 为(f(x)的)窗口Fourier 变换，称g(x)为窗函数。 ( 注意式2-1与前面傅立叶变换定义相差了个系数) 一般窗函数g(x)是选择在|x|x0 时快速趋向于0的“钟形”函数。这样，信号f(x)在乘以平移滑动的窗函数g(x-b)后，便有效地抑制了|x-b|x0外的信号，所以f(x)g(x-b)的Fourier变换反映了在时刻x=b附近的局部频谱信息，从而达到时频局部化的目的。 回顾卷积定理： 由定义2.1知 ： (式2-2) (2.2)式表明Gf(ω,b)是频谱F[f]经过F[g]平移后卷积的结果。如果F[g]有局部化的作用，那么频域信息F[f]就在ω 附近被局部化了。 WFT实现时域和频域局部化的基本思想是重要的． 在时域局部化方面，它通过引进的时窗函数g(x) ，使时域信号f(x)在x=b 附近被局部化为 f(x)g(x-b)． 在频域局部化表现方面，要观察Gf(ω,b) 的表现，特别是对于某个确定的ω处关于Gf(ω,b)的表现．如果F[g]有局部化的作用，那么频域信息F[f]就在ω 附近被局部化了(见(式2-2)） 。 为了寻求窗函数g(x)所应满足的条件，下面先介绍一些概念。 定义2-2:设g(x)是窗函数，则有： 时窗中心： (式2-3) 时窗半径： (式2-4) 令： 则： (式2-７) (式2-６) (式2-５) 时窗函数g(x)的窗口为： (式2-8) 时窗宽度为2△t。 由时窗中心和时窗半径的定义得到g(x)与g(x-b)的时窗中心和时窗半径的关系如下： (式2-9) (式2-10) 这两条性质说明时窗函数的时窗中心随平移参数b 移动，移动方向与窗函数移动一致，但时窗宽度保持不变． 这些概念可通过力学中的重心和转动惯量来解释。时窗中心可以看成窗函数曲线围成的面积的中心，而时窗半径可认为是全部质量绕时窗中心旋转时的回旋半径，半径大则面积较扩散，半径小则面积较集中 定义2.3 设g(x)是时窗函数．称G(ω)=F[g(x)]为频窗函数。称 频窗中心： 频窗半径： (式2-11) (式2-12) 当频窗平移a后，由频窗中心和频窗半径可推出G(ω-a)的频窗中心和频窗半径： (式2-13) (式2-14) 由定义知，g (x)和G(ω)分别起着时窗和频窗的作用。在时频坐标系中，时窗一频窗共同作用而形成时频窗(如图).  由于时窗中心和时窗半径均要求为有限值，故有: (式2-15) 为了简便，要求: 同样可得到对频窗函数的要求: 若g(x)和F[g(x)]能分别起着时窗和频窗的作用，则可简称g(x)为窗函数，它的时域局部化作用被限制在时窗区间 范围内；它的频域局部化作用被局限在频窗区间 范围内．于是，可构建时一频坐标系，用时窗区间和频窗区间形成一个矩形时－频窗．时一频