第五章 分布的数值特征参考资料.docx

第五章分布的数值特征一、平均指标的概念及特点（一）平均指标的概念平均指标(Mean)又称平均数，是指同类现象在一定时间、地点、条件下所达到的一般水平。它作为同类现象的一般水平，是总体内各单位参差不齐的标志值的代表值，也是对变量分布集中趋势的测度。它是将总体各单位某一标志值的个体差异抽象化，反映总体某一变量达到的平均水平的指标，如平均工资、平均年龄、平均文化水平等。在统计中，常用的平均指标有算术平均数、调和平均数、几何平均数、众数和中位数等。其中，算术平均数、调和平均数、几何平均数是根据变量数列中各单位的标志值计算得到的，所以称为数值平均数；众数和中位数是根据变量数列中某些标志值所处的位置来确定的，称为位置平均数。各种平均指标的计算方法、指标含义、应用条件都不相同，现分别加以叙述。（二）平均指标的特点1.将数量差异抽象化。平均指标将各个变量间的差异抽象化，从而说明总体的一般水平。如某地区的居民平均收入指标，是将该地区居民个人之间的收入差异抽象化，用来说明该地区居民收入的一般水平。2.只能就同类现象计算。计算平均指标的各单位必须具有同类性质，这是计算平均指标的前提条件。如果将性质不同的个体混杂在一起，由此计算的平均数只会掩盖事物的本质区别，得出错误的结论。3.能反映总体变量的集中趋势，是反映总体变量分布特征的指标之一。从总体变量分布的情况看，多数标志值集中在平均数附近，所以平均指标是标志值集中趋势的测度数，是反映总体变量集中倾向的代表值。二、数值平均数数值平均数(Mean)是根据数据分布的全部标志值（或变量值）来计算的平均数，也称均值，是反映数据分布集中趋势的重要指标。它包括算术平均数（）、调和平均数（）和几何平均数（）。（一）算术平均数1. 简单算术平均数简单算术平均数（Simple Arithmetic Mean）是用一组数据中所有数据值求和再除以该组数据的个数而得到的数据平均值。它主要用于处理未分组的原始资料。计算公式为：其中，x1，x2，...xn表示各个变量值；n表示变量个数；表示总和符号。2.加权算术平均数加权算术平均数(Weighted Arithmetic Mean)又简称为加权平均数，是根据每个数据在全组中的重要程度而赋予一定权重后计算得到的算术平均数。在数据资料已分组时，计算平均数需要采用加权算术平均数的计算方法。计算公式为： 其中，x表示变量值，f表示权数，表示各组次数占总次数的比重。 当对绝对数求加权算术平均数时，次数就是权数f；当对相对数或平均数求加权算术平均数时，次数不一定是权数，此时，变量x的分母数据为权数f。(1)加权算术平均数的计算步骤：如果是单项式数列求加权算术平均数：第一步，把各组的变量值乘以相应的权数，求出各组总量（xf）；第二步，把各组总量相加，求得最终的总量（）；第三步，把各组的权数相加，求得总权数（）；第四步，用最终的总量除以总权数，得平均数。如果是组距式数列求加权算术平均数：第一步，确定各组组中值；第二步，用各组组中值乘以相应的权数，求出各组的总量（xf）；第三步，把各组的总量相加，求得最终的总量（）；第四步，把各组的权数相加，求得总权数（）；第五步，用最终的总量除以总权数，得平均数。(2)加权算术平均数的影响因素：一是各组变量值的大小（x）；二是各组权数占总权数比重的高低（）。(3)权数的作用：变量值与权数相乘，被称为加权。当变量值大小与总权数一定时，权数在各组的分配比例会影响平均数的高低，即权数越大的组，该组变量值会越接近资料的平均数；权数越小的组，该组变量值会远离平均数。3.算术平均数的数学性质（1）各变量值与算术平均数的离差总和等于零。（2）各变量值与算术平均数的离差平方和为最小值。（3）两个独立的同性质变量代数和的平均数等于各变量平均数的代数和。即 。（4）两个独立的同性质变量乘积的平均数等于各个变量平均数的乘积。即。（二）调和平均数调和平均数是常用的另一种平均指标。 调和平均数是各变量值倒数的算术平均数的倒数，又称倒数平均数，是算术平均数的变形计算。1.简单调和平均数简单调和平均数适用于未分组资料，其计算公式为：式中：表示调和平均数；xi表示类似于劳动生产率的倒指标变量值；n表示变量值个数。例4.3.4：某市场的白菜价格：早市为每千克 2.5元，中市为每千克3元，晚市为每千克2元，则白菜全天的平均价格为：即白菜全天的平均价格为每千克2.44元。2.加权调和平均数加权调和平均数适用于已分组资料，其计算公式为：式中，mi为一种特殊权数，是各组总量指标，即mi＝xifi。3.调和平均数的计算步骤：第一，计算各个变量值的倒数， 即第二，计算上述各个变量值倒数的算术平均数，即第三，计算算术平均数的倒数，得到调和平均数，即4. 加权算术平均数与加权调和平均数的关系：