第1章实数.doc

实数集与函数 §1 实数 一 实数及其性质 有理数可用分数形式（为整数，）表示，也可以用有限十进小数或无限十进循环小数来表示；而无限十进不循环小数则称为无理数.有理数和无理数统称为实数。 规定：对于正有限小数(包括正整数)，当时，其中为非负整数，记；而当为正整数时，则记。对于负有限小数(包括负整数)，则先将表示为无限小数,再将所得无限小数之前加负号。又规定数0表示为。于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示。 定义1 给定两个非负实数 ， 其中为非负整数，为整数，。若有，则称与相等，记为；若或存在非负整数，使得而，则称大于，记为或。 对于负实数与，当时，规定；当时，规定（或）。规定任何非负数实数大于任何负实数。 定义2 设为非负实数。称有理数为实数的位不足近似，而有理数称为实数的位过剩近似，。 对于负实数其位不足近似与位过剩近似分别规定为与。 注 ，而。 命题 设与为两个实数，则的等价条件是：存在非负整数，使得。这时有理数满足。 记为实数}。实数有如下一些主要性质： 任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数。 （有序性）任意两个实数必满足下述三个关系之一：。 （传递性）若，则有。 （Archimedes性）对任何，若，则存在正整数，使得。 （稠密性）任何两个不相等的实数之间必有另一个实数。 任一实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数。于是，实数集与数轴上的点有着一一对应关系。常把“实数”与“数轴上的点”这两种说法看作具有相同的含义。 例题 设。证明：若对任何正数有，则。 证 用反证法。若结论不成立，则根据实数的有序隆，有。令，则为正数且，这与假设相矛盾。从而必有。 二 绝对值与不等式 实数的绝对值定义为 从数轴上看数的绝对值就是点到原点的距离。实数的绝对值有如下一些性质： 1. ，当且仅当； 2. ； 3. ； 4. 有三角不等式:； 5. ； 6. 。 §2 数集、确界原理 一 区间与领域 设，称数集为开区间；称数集为闭区间；称数集和为半开半闭区间，以上区间统称为有限区间。 以下数集称为无限区间： ， 。 有限区间和无限区间统称为区间。 设。的领域：； 的空心领域：； 的右领域：；的左领域：； 的空心右领域：； 的空心左领域：。 设，领域：；领域：； 领域：。 二 有界集、确界原理 定义1 设S为R中的一个数集。若存在数M（L），使得对一切，都有，则称S为有上界（下界）的数集，数M（L）称为S的上界（下界）。 若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。若S不是有界集，则称S为无界集。 例1 证明数集为正整数}有下界而地上界。 定义2设S为R中的一个数集。若数满足： （i）对一切，有，即是S的上界； （ii）对任何，存在，使得，即是S的最小上界， 则称数为数集S的上确界，记作。 定义2设S为R中的一个数集。若数满足： （i）对一切，有，即是S的下界； （ii）对任何，存在，使得，即是S的最大下界， 则称数为数集S的下确界，记作。 上确界与下确界统称为确界。 注1 由上（下）确界的定义可见，若数集S存在上（下）确界，则一定是唯一的。又数集S存在上、下确界，则有。 例2 设，验证。 注2 从上面的例子可见，数集S的确界可能属于S，也可能不属于S。 例3 设数集S有上确界。证明。 证 设，则对一切有，而，故是数集S中最大的数，即。 设，则， （i）对一切有，即是数集S的上界； （ii）对任何，只须取，则。从而满足的定义。 定理1.1 （确界原理）设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。 证 我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明。 为叙述的方便起见，不妨高S含有非负数。由于S有上界，故可找到非负整数，使得 对于任何有； 存在，使得。 对区间作10等分，分点为，则存在中的一个数，使得 对于任何有； 存在，使得。 对区间作10等分，则存在中的一个数，使得 对于任何有； 存在，使得。 继续不断地10等分在前一步骤中所得的半开区间，可知对任何存在中的一个数，使得 对于任何有； 存在，使得。 （1） 将上述步骤无限一进行下去，得到实数。以下证明。为此只需证明： （i）对一切有；（ii）对任何，存在使。 倘若结论（i）不成立，即存在有，则可找到的位不足，使 从而得 但这与不等式（1）相矛盾。于是（i）得证。 现设，则存在的位不足，使，从而由（1）式存在使。这说明（ii）成立。 例4 设A、B为非空数集，满足：对一切和有。证明：数集A有上确界，数集B有下确界，且。 （2） 证 由假设，数集B中任一数都是数集A的上界，A中任一数都是B的下界，故由确界原理推知数集A有上确只是，数