2013届江苏省高考数学二轮复习专题5函数的综合应用.doc

江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题5函数的综合应用 高考中，函数作为压轴题的考查层出不穷，是历年来高考的热点问题之一，很多时候都以函数为载体考查学生分析问题、解决问题的能力，考查学生的数学素养以及运用数学思想处理问题的能力，填空题中往往也在13、14题的位置作为把关题，结合函数的性质以及图象来考查学生的等价转化能力和数据处理能力.抓住函数的本质，掌握求函数性质的一般方法，特别是求函数值域的方法对我们解决中高档题目有着重要的意义.预测在2013年的高考题中：?1?仍然作为把关题出现在填空题和解答题的后半部分.?2?结合导数一起考查，利用导数探究函数的性质. 1．(2012·启东测试)若实数x满足对任意正数a0，均有ax2－1，则x的取值范围是________． 解析：由题意得x2－1≤0，即－1≤x≤1. 答案：[－1,1] 2．函数f(x)＝x2－在[1，＋∞)上的最小值是－4，则正实数a＝________. 解析：f′(x)＝2x＋＞0，则f(x)在[1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝1－a＝－4，a＝5. 答案：5 3．关于x的不等式x2＋9＋|x2－3x|≥kx在[1,5]上恒成立，则实数k的范围为________． 解析： 两边同除以x，则k≤x＋＋|x－3|，x＋≥6，|x－3|≥0，当且仅当x＝3，两等式同时取得等号，所以x＝3时，右边取最小值6.所以k≤6. 答案：(－∞，6] 4．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)＝________. 解析：由f(x)·f(x＋2)＝13得f(x＋2)·f(x＋4)＝13，即f(x＋4)＝f(x)，所以f(99)＝f(3)＝＝. 答案： 5．已知a0且a≠1，当x(－1,1)时，不等式x2－ax恒成立，则a的取值范围________． 解析：不等式x2－ax可化为axx2－， 画出y1＝ax，y2＝ x2－的图象．由图可看出≤a1或1a≤2. 答案：(1,2] 　　 函数f(x)＝x2＋ax＋3－a，对于任意的x[－2,2]总有f(x)≥0成立，求a的取值范围． [解]　法一：设f(x)的最小值为g(a)，则只需要g(a)≥0. (1)当－－2，即a4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，得a≤，又a4，故不存在； (2)当－[－2,2]，即－4≤a≤4时，g(a)＝f＝3－a－≥0，得－6≤a≤2，又－4≤a≤4，故－4≤a≤2； (3)当－2，即a－4，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0， 得a≥－7，又a－4，故－7≤a－4. 综上所述a的取值范围为[－7,2]． 法二：原题可等价转化为x2＋3≥(1－x)a对于任意的x[－2,2]恒成立． (1)若1－x＝0即x＝1时，显然成立，此时aR. (2)若1－x0即－2≤x1，不等式a≤恒成立，设g(x)＝，利用求导的方法得到g(x)min＝2，得到a≤2， (3)若1－x0即1x≤2，不等式a≥恒成立，设g(x)＝，利用求导的方法得到g(x)max＝－7，得到a≥－7. 综上所述a的取值范围为[－7,2]． 通过以上解法，我们认识到对于这一类问题，方法较多、思维较强，考察了等价转换的数学思想，对于这类问题我们只有归纳总结，多去研究、探讨才能掌握解题规律，灵活选择解题方法． 　　 (2012·南通、泰州、扬州调研)已知函数f(x)＝－x3＋x2，g(x)＝aln x，aR. (1)若对任意x[1，e]，都有g(x)≥－x2＋(a＋2)x恒成立，求a的取值范围； (2)设F(x)＝若P是曲线y＝F(x)上异于原点O的任意一点，在曲线y＝F(x)上总存在另一点Q，使得POQ为钝角，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围． 解：(1)由g(x)≥－x2＋(a＋2)x，得(x－ln x)a≤x2－2x. 由于x[1，e]，ln x≤1≤x，且等号不能同时取得， 所以ln xx，x－ln x0. 从而a≤恒成立，a≤min. 设t(x)＝，x[1，e]． 求导，得t′(x)＝. x[1，e]，x－1≥0，ln x≤1，x＋2－2ln x0， 从而t′(x)≥0，t(x)在[1，e]上为增函数． 所以t(x)min＝t(1)＝－1，所以a≤－1. (2)F(x)＝ 设P(t，F(t))为曲线y＝F(x)上的任意一点． 假设曲线y＝F(x)上存在一点Q(－t，F(－t))，使POQ为钝角，则·0. 若t≤－1，P(t，－t3＋t2)，Q(－t，aln(－t))， ·＝－t2＋aln(－t)·(－t3＋t2)． 由于·0恒成立，a(1－t)ln(－t)1. 当t＝－1时，a(1－t)ln(－t)1恒成立． 当t－1时，a恒成立． 由于0，所以a≤0. 若－1t1，t