2014年高考数学(理)二轮专题复习：中档大题保分练(五).doc

中档大题保分练(五) (推荐时间：50分钟) 1． 已知向量m＝(sin x，－1)，n＝(cos x,3)． (1)当m∥n时，求的值； (2)已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，c＝2asin(A＋B)，函数f(x)＝(m＋n)·m，求f的取值范围． 解　(1)由m∥n，可得3sin x＝－cos x，于是tan x＝－， ∴＝＝＝－. (2)在△ABC中，A＋B＝π－C，于是sin(A＋B)＝sin C， 由正弦定理知：sin C＝2sin Asin C， ∵sin C≠0，∴sin A＝. 又△ABC为锐角三角形，∴A＝，于是B. ∵f(x)＝(m＋n)·m ＝(sin x＋cos x,2)·(sin x，－1) ＝sin2x＋sin xcos x－2 ＝＋sin 2x－2 ＝sin－， ∴f＝sin－ ＝sin 2B－. 由B得2Bπ， ∴0sin 2B≤1，－sin 2B－≤－， 即f∈. 2． 已知数列{an}的通项公式为an＝3n－1，在等差数列{bn}中，bn0(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列． (1)求数列{bn}的通项公式； (2)求数列{an·bn}的前n项和Tn. 解　(1)∵an＝3n－1(n∈N*)，∴a1＝1，a2＝3，a3＝9， 在等差数列{bn}中，∵b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5. 又∵a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列， 设等差数列{bn}的公差为d， ∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2， ∵bn0(n∈N*)，∴舍去d＝－10，取d＝2，∴b1＝3， ∴bn＝2n＋1(n∈N*)． (2)由(1)知，Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，① 3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)·3n，② ①－②得 －2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)3n ＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3n ＝3＋2×－(2n＋1)3n＝3n－(2n＋1)3n＝－2n·3n， ∴Tn＝n·3n. 3． 甲、乙两人玩猜数字游戏，规则如下： ①连续竞猜3次，每次相互独立； ②每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记为a，再由乙猜甲写的数字，记为b，已知a，b∈{0,1,2,3,4,5}．若|a－b|≤1，则本次竞猜成功； ③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖． (1)求甲乙两人玩此游戏获奖的概率； (2)现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏，这6人中仅有2对双胞胎，记选出的4人中含有双胞胎的对数为X，求X的分布列和期望． 解　(1)记事件A为甲乙两人一次竞猜成功， 则P(A)＝＝， 则甲乙两人获奖的概率为 P＝1－P3(0)－P3(1) ＝1－C03－C12＝. (2)由题意可知6人中选取4人，双胞胎的对数X取值为0,1,2， 则P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 分布列如下： X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 4 已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝，点D为AC的中点，点E在线段AA1上． (1)当AE∶EA1＝1∶2时，求证：DE⊥BC1； (2)是否存在点E，使二面角D－BE－A等于60°？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由． (1)证明　连接DC1， 因为ABC－A1B1C1为正三棱柱， 所以△ABC为正三角形， 又因为D为AC的中点， 所以BD⊥AC， 又平面ABC⊥平面ACC1A1， 平面ABC∩平面ACC1A1＝AC， 所以BD⊥平面ACC1A1， 所以BD⊥DE. 因为AE∶EA1＝1∶2，AB＝2，AA1＝， 所以AE＝，AD＝1， 所以在Rt△ADE中，∠ADE＝30°， 在Rt△DCC1中，∠C1DC＝60°， 所以∠EDC1＝90°，即DE⊥DC1. 又BD∩DC1＝D， 所以DE⊥平面BDC1，BC1面BDC1，所以DE⊥BC1. (2)解　假设存在点E满足条件，设AE＝h. 取A1C1的中点D1，连接DD1，则DD1⊥平面ABC， 所以DD1⊥AD，DD1⊥BD， 分别以DA、DB、DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz， 则A(1,0,0)，B(0，，0)，E(1,0，h)， 所以＝(0，，0)，＝(1,0，h)，＝(－1，，0)，＝(0,0，h)， 设平面DBE的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则，， 令z1＝1，得n1＝(－h,0,1)， 同理，平面ABE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则，取y2＝1， ∴n2＝(