2014高考数学二轮复习典型题专讲基础保分题2.doc

1．已知函数f(x)＝4sin ωxcos＋(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值． 解：(1)f(x)＝4sin ωx＋ ＝2sin ωxcos ωx－2sin2ωx＋ ＝sin 2ωx＋cos 2ωx ＝2sin. ∵T＝＝π，ω＝1. ∴f(x)＝2sin. (2)∵－≤x≤，－≤2x＋≤. ∴－≤sin≤1，即－1≤f(x)≤2， 当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)min＝－1； 当2x＋＝，即x＝时， f(x)max＝2. 2．为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛． (1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率； (2)若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X，求X的分布列和数学期望． 解：(1)设 “甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A， 则P(A)＝＝＝. 所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为. (2)由题意知随机变量X的可能取值为0,1,2,3. P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝. 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 从而有E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1， 所以随机变量X的数学期望为1. 3.如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC-A1B1C1中，AC＝AA1＝2AB＝2，BAC＝90°，点D是侧棱CC1延长线上一点，EF是平面ABD与平面A1B1C1的交线． (1)求证：EFA1C； (2)当平面DAB与平面CA1B1所成锐二面角的余弦值为时，求DC1的长． 解：(1)证明：三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱， 平面ABC平面A1B1C1. 又平面ABC∩平面ABD＝AB，平面A1B1C1∩平面ABD＝EF， EF∥AB. ∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，且BAC＝90°， AB⊥AA1，ABAC. 而AA1∩AC＝A，AB⊥平面ACC1A1. 又A1C平面ACC1A1， AB⊥A1C. ∴EF⊥A1C. (2)建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz. 设C1D＝t(t＞0)， 则B(1,0,0)，C(0,2,0)，D (0,2,2＋t)，A1(0,0,2)，B1(1,0,2)． ＝(1,0,0)，＝(0,2，－2)． 设平面CA1B1的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)， 则得令z1＝1，则y1＝1， n＝(0,1,1)． 同理可求得平面DAB的一个法向量为m＝. 由|cos〈n，m〉|＝＝， 得t＝1或t＝－(舍去)． DC1＝1. 4．已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－n－1＋2(nN*)，数列{bn}满足bn＝2nan. (1)求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)设cn＝log2，数列的前n项和为Tn，求满足Tn＜(nN*)的n的最大值． 解：(1)在Sn＝－an－n－1＋2中，令n＝1，可得S1＝－a1－1＋2＝a1，即a1＝. 当n≥2时，Sn－1＝－an－1－n－2＋2， an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋n－1， 2an＝an－1＋n－1，即2nan＝2n－1an－1＋1. bn＝2nan， bn＝bn－1＋1，即当n≥2时，bn－bn－1＝1. 又b1＝2a1＝1， 数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列． 于是bn＝1＋(n－1)·1＝n＝2nan，an＝. (2)cn＝log2＝log22n＝n， ＝＝－， ∴Tn＝＋＋＋…＋＋＝1＋－－. 由Tn＜，得1＋－－＜， 即＋＞. 设f(n)＝＋(nN*)， 则f(n)＝＋单调递减， f(4)＝，f(5)＝， ∴n的最大值为4. 学优高考网（）我的高考我做主！ 高考试题库（）我的高考我做主！