811函数导学案教师版.doc

．§2.1　函数及其表示 1． (2011·浙江)设函数f(x)＝，若f(a)＝2，则实数a＝________. 答案　－1 解析　∵f(x)＝，∴f(a)＝＝2，∴a＝－1. 2． (课本改编题)给出四个命题： ①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝＋是函数；③函数y＝2x (x∈N)的图象是一条直线；④f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数． 其中正确命题的序号有________． 答案　①② 解析　对于①函数是映射，但映射不一定是函数； 对于②f(x)是定义域为{2}，值域为{0}的函数． 对于③函数y＝2x (x∈N)的图象不是一条直线； 对于④由于这两个函数的定义域不同，所以它们不是同一个函数． 3． 函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________． 答案　[－3,0]∪[2,3]　[1,5]　[1,2)(4,5] 4． (2012·江西)下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝xex D．y＝ 答案　D 解析　函数y＝的定义域为{x|x≠0}，选项A中由sin x≠0x≠kπ，k∈Z，故A不对；选项B中x0，故B不对；选项C中x∈R，故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x|x≠0}，故选D. 5． (2012·福建)设f(x)＝g(x)＝则f(g(π))的值为(　　) A．1 B．0 C．－1 D．π 答案　B 解析　根据题设条件，∵π是无理数，∴g(π)＝0， ∴f(g(π))＝f(0)＝0. 题型一　函数的概念 例1　有以下判断： (1)f(x)＝与g(x)＝表示同一函数； (2)函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个； (3)f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数； (4)若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0. 其中正确判断的序号是________． 思维启迪：可从函数的定义、定义域和值域等方面对所给结论进行逐一分析判断． 答案　(2)(3) 解析　对于(1)，由于函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x＝1不是y＝f(x)定义域的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于(3)，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于(4)，由于f＝－＝0， 所以f＝f(0)＝1. 综上可知，正确的判断是(2)(3)． 探究提高　函数的三要素：定义域、值域、对应关系．这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应关系唯一确定；因此当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．特别值得说明的是，对应关系是就效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)不是指形式上的．即对应关系是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断． 下列各组函数中，表示同一函数的是(　　) A．f(x)＝|x|，g(x)＝ B．f(x)＝，g(x)＝()2 C．f(x)＝，g(x)＝x＋1 D．f(x)＝·，g(x)＝ 答案　A 解析　A中，g(x)＝|x|，∴f(x)＝g(x)． B中，f(x)＝|x|，g(x)＝x (x≥0)， ∴两函数的定义域不同． C中，f(x)＝x＋1 (x≠1)，g(x)＝x＋1， ∴两函数的定义域不同． D中，f(x)＝·(x＋1≥0且x－1≥0)，f(x)的定义域为{x|x≥1}； g(x)＝(x2－1≥0)， g(x)的定义域为{x|x≥1或x≤－1}． ∴两函数的定义域不同．故选A. 题型二　求函数的解析式 例2　(1)已知f＝lg x，求f(x)； (2)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式； (3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式． 思维启迪：求函数的解析式，要在理解函数概念的基础上，寻求变量之间的关系． 解　(1)令t＝＋1，则x＝， ∴f(t)＝lg ，即f(x)＝lg . (2)设f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，∴a＝1，b＝2， ∴f(x)＝x2＋2x＋c. 又∵方程f(x)＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－