同济大学2010年高等数学竞赛试题-答案.doc

高等数学竞赛试卷2010 一.填空题 1. . 答: . 2. 设函数连续且，则极限 . 答： . 3. 设，则 . 答： . 4. 设,变量且,那么 . 答： . 5. 设曲面的方程，的方程为，的方程为，的方程为，它们在面上的投影均为，它们的面积依次为、、和，则、、、的大小关系为 .（用等号或不等号表示） 答： . 6.设曲线：，则 . 答：. 二.选择题 1.设， 其中是有界函数. 则在点处A)极限不存在 (B)极限存在但不连续 (C)连续但不可导 (D)可导 答：设与具有任意阶导数，且，的驻点，且，则 (A)为函数的极大值为函数的极小值 点为曲线的拐点极值拐点由确定答连续，则 . (A) (B) (C) (D) 答A) (B) (C) (D) 答： D 三.求无界区域绕轴旋转形成立体的体积. 解：, 令， 四.已知曲线的方程为. (1) 讨论的凹凸性. (2) 过点 引的切线，求切点，并写出切线方程. (3) 求此切线与以及轴所围成的平面图形的面积.1) ，，下凸(2) 由，得求得切点的参数，切点切线方程；3) 记的方程为，面积. 或记的方程为，面积 五.设，是极值. 求在点处的曲率. 解： ， 驻点. ，. 六.设是球面被平面，， 切下的在第一卦限的部分，试求的面积. 解： ,在面的投影： 由，，围成. 七.设是坐标原点，动点在曲线上移动时，线段的轨迹形成了锥面. (1)试写出的方程；(2)求曲面积分，其中取下侧. 解：(1)，必有， ，， ，即的方程为. (2)在面上的投影区域.的方程为,有,合一投影法并利用对称性计算， 或 (2)在面上的投影区域.的方程为与,有 . 在面上的投影区域.的方程为,有 在面上的投影区域.的方程为, . 故 .