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泰勒公式及其它的应用 摘要：泰勒公式在数学分析和研究数学问题中有着重要作用，本文主要采用举例分析的方法介绍了泰勒公式在求极限，近似值，导数。证明定积分，不等式，判断级数收敛性和行列式，求高阶导数在某点的数值方面的应用。 关键词：泰勒公式，极限，行列式，高阶导数，不等式，定积分。 中图分类号：0173 引言 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。1717年。他以泰勒定理求解数值方程。 泰勒的主要着是1715年出版的“正的和反的增量方法”，书内以下列形式陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（数学家、天文学家）信中首先提出的着名定理——泰勒定理：式内V为独立变量的增量，及为流数。他假定Z随时间均匀变化，则为常数。上述公式以现代形式表示则为：这公式是从格雷戈里一牛顿插值公式发展而成的，当 x=0 时便称作马克劳林定理。1772年，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为策分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。 泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展开成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物品问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。他透过求解方程导出了基本频率公式，开创了弦振问题之先河。此外，此书还包括了他于数学上之其他创造性工作，如论述常策分方程的奇异解，曲率问题之研究等。 泰勒公式 １.泰勒公式 已知一个函数，如何把它表示成我们所需要的多项式呢？先考虑多项式函数它具有任意阶连续导数，且当时，．经过简单的计算可知．这个多项式的系数同它的各阶导数之间有如下的关系； ． 如果把这个多项式按照（x-a）的幂式重新写出来，即 ，则系数同的各阶导数之间的关系经过计算易知为 ． 再考虑是一般的函数．设它在a点具有直到n阶的连续导数，这时总可以作出如下的多项式 ． 如果已给函数是n次多项式，那末由上面的讨论，与完全相同，因而对的研究可以用对的研究来代替．是用及其各阶导数在x=a点的数值来表示的另一个多项式，称其为多项式的泰勒公式． 2.泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a, b）有直到 n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于多项式和一个余项的和： 其中这里在 和之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 证明：我们知道 (根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有 )，其中误差是即的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够精确的且能估计出误差的多项式： 来近似地表示函数且要写出其误差的具体表达式。设函数满足，于是可以依次求出 ，显然，，所以 。至此，多项的各项系数多已求出，得： . 泰勒定理 若函数满足如下条件： 在闭区间上函数存在直到阶连续导数， 在开区间内存在的的阶导数，取，则对任何，且，至少存在一点，使得式（１） 证：　记 ，（２） 则（１）式可写作 　　　　 或　　　　． 现记，这两个函数在闭区间（不妨设）上有直到阶连续导函数，在内有阶导数，又由于 　　　　　， 　　　　　， 所以在区间上连续运用柯西中值定理次，就有 其中 　从而得到介于之间，　　　　　　　　　　　　　　　（3）　　　即 这就得到所要证明的（１）式． 　　　 泰勒公式的应用： 函数方程中应用 例1：已知函数　f(x) 在区间内有二阶导数，且 试证：，使得内． 证：为了证明f(x)在x=0的领域内恒为零，我们将（４）式右端的在处按Taylor公式展开，注意到． 我们有 从而 令限制则在上连续有界，使得我们这要证明即可，事实上　　　　 ，即，所以，在上． 2.用泰勒公式来证明不等式： 在高等数学中，常常要证明一些不等式，而且证明不等式的方法很多，在证明不等式时以得用泰勒公式，应用的关键在于根据题设的条件如何选择要展开的函数，在那一点的领域将函数展开，展开的阶次及余项形式，现足不同层次，不同水平，不同兴趣，学生的需要，写出比最高阶导数低一阶的泰勒公式，根据所给的高阶导数的大小或上下界对展开式进行缩放。 例2.设 证明 证明： 令 因为 应用Taylor公式知，存在 使 注意到此处所以f(x)0 3.在定义非初等函数中的应用 泰勒公式在近似计算某些函数值，定义某些初等函数等方面具有重要作用，本文对往的成果加以探讨，讲一步说明了定义非初等函数的应用。 若如函数f(x)在R上连续则f(x)在R上存在原