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泰勒公式及其应用 摘要：泰勒公式是数学分析中的重要知识,在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的.本文主要阐述了利用泰勒公式进行近似计算和误差分析、求极限、求函数在某点处的高阶导数、求定积分、求某些微分方程的解、巧解行列式、判断函数极值与拐点、判断级数与广义积分的敛散性、证明不等式、证明根的唯一性等方面的应用及技巧. 关键字：泰勒公式；应用；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值. 一.引言 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.本文主要探索的是泰勒公式的一些重要应用,并对不同的应用进行相应的分析,并且通过例题分析说明泰勒公式的应用及注意事项和应用技巧. 二.泰勒公式及其余项 1.泰勒公式的基本概述 若函数在处存在阶导数,则对,有 , (1) ,,即是比的高阶无穷小. (1)式称为在处的泰勒展开式. 2.泰勒公式的重要形式 泰勒定理中给出的余项称为佩亚诺余项.佩亚诺余项只是给出来余项的定性描述,它不能估算余项的数值,还需要进一步的进行定量描述. （1）拉格朗日余项 若函数在内存在阶的连续导数,则对有 , (2) 称为拉格朗日余项,其中在与之间,称(2)式为在的带拉格朗日余项的泰勒公式. 当时, (2)式变成 , ,其中在0与之间,称此式为带拉格朗日余项的麦克劳林公式. （2）柯西余项 若函数在内存在阶的连续导数,则对有 , (3) ,其中在与之间,称(3)式为在带柯西余项的泰勒公式. 当时, (3)式变成 , ,其中,称此式为带柯西余项的麦克劳林公式. （3）积分余项 若函数在内存在阶的连续导数,则对有 , (4) ,称(4)式为在带积分余项的泰勒公式. 3.常见函数的展开式 ； ； ； ； ； . 三.泰勒公式的应用 1.利用泰勒公式近似计算和误差估计 在研究学习过程中,我们经常因为一些数据是无理数而无法得出具体的数值,但是通过泰勒公式就可以将这些数表示成容易计算并且可以计算的形式,进而得出具体的数值来近似该数.另外绝大多数的数值计算结果都会有误差,但是通过合理的计算方法就能最大限度的减少误差,同时减少计算的复杂程度.泰勒公式在近似计算和误差估计中应用就显得十分突出.下面在具体例子展示泰勒公式计算的方便与精确. 例1 计算的值,使其误差不超过. 解 ,由,得到 . 有: , 故,当时,便有 , 从而略去而求得的近似值为 例2 估计近似公式,的绝对误差. 解 设,则因为 , , , , , 所以带有拉格朗日型余项的二阶麦克劳林公式为： ,. 从而： ,. 2.利用泰勒公式求极限 正如我们所知的一样,有一些特殊的极限通过一些常规的方法是没有办法直接计算得出来的,比如常见的、型等,而通过利用泰勒公式将其中的一些项用泰勒展式替换将函数的极限化为类似于多项式有理式的极限,就可以解决这些问题的极限计算. 例3 求的极限. 解 因为分母为,故分子的泰勒展开式中取. , . . 例4 设函数在上二次连续可微,如果存在,且在上有界. 求证：. 证明 要证明,即要证明:, ,当时, . 利用泰勒公式,, 即 , (5) 记,因有界,所以,使得, 故由(5)知, (6) 对,首先可取,充分小,使得,然后将固定. 因,所以,当时 , 从而由(6)式即得 3.利用泰勒公式判断函数极值拐点 例5 设在的某邻域内一阶可导,在处二阶可导,且,.证明 (i)若,则在取得极大值； (ii) 若,则在取得极小值. 证明 由条件,可得在处的二阶泰勒公式 . 由于,因此 . (7) 又因,故存在正数,当时,与同号. 所以,当时, (7)式取负值,从而对任意有 , 即在取得极大值.同样对,可得在取得极小值. 例6 判定是否是的拐点？ 解 ,； ,； ,； ,. 因为,所以不是的拐点. 注： 用泰勒公式可证明：若在某个内阶可导,且满足,且,若： （1）为奇数,则为拐点； （2）为偶数,则不是拐点. 4.利用泰勒公式判断级数的敛散性 当我们所要判断的级数