泰勒展开式中余项的应用设计.docVIP

天 津 师 范 大 学 本科毕业论文（设计） 题目：泰勒展开式中余项的应用 学 院：数学科学学院 学生姓名：学 号：专 业：年 级：200级完成日期：指导教师： 摘要:泰勒展开式是数学分析及复变函数中的重要内容,它将某些函数近似地表示为形式简单的多项式函数.泰勒展开式的余项可分为佩亚诺型余项、拉格朗日型余项、积分型余项和柯西型余项,彼此之间可以相互转换.本文主要讨论两个方面的内容:一是佩亚诺型余项在极限运算、函数凹凸性、广义积分和级数敛散性方面的应用;二是拉格朗日型余项在证明一些等式或不等式、根的存在性、近似计算与误差分析方面的应用.从而对泰勒展开式的余项有一个总体认识,这有助于我们对泰勒展开式中的各类余项实施进一步推广和应用. 关键词：泰勒展开式;佩亚诺型余项;拉格朗日型余项;泰勒级数. 目 录 1 引言 1 2 预备知识 1 2.1 泰勒多项式 1 2.2 泰勒展开式的余项 2 2.2.1 佩亚诺型余项 2 2.2.2 拉格朗日型余项 2 2.2.3 积分型余项与柯西型余项 3 2.3 泰勒级数 3 3 泰勒展开式余项的应用 4 3.1 佩亚诺型余项的应用 4 3.1.1 极限运算的应用 4 3.1.2 判断函数凹凸性及拐点 6 3.1.3 判别广义积分收敛性 7 3.1.4 判别级数敛散性 9 3.2 拉格朗日型余项的应用 10 3.2.1 一些等式或不等式的应用 10 3.2.3 证明根的唯一存在性 13 3.2.4 近似计算与误差估计 14 4 参考文献： 15 1 引言 泰勒展开式是18世纪早期英国数学家泰勒微积分学中将函数展开成无穷级数 我们在学习导数和微分概念时已经知道,如果函数在点可导则有 . 即在点附近,用一次多项式逼近函数时,其误差为的高阶无穷小量,然而在很多场合,取一次多项式逼近是不够的,往往需要用到二次或高于二次的多项式去逼近,并要求误差为,其中为多项式的次数.为此我们考察任意次多项式 . 逐次求它在点处的各阶导数,得到 ,,,…,, 即 ,,,…,. 由此可见,多项式的各项系数由其在点的各阶导数值所唯一确定. 对于一般函数,设它在点存在直到阶的导数,由这些导数构造一个次多项式 , 称为函数在点处的泰勒（Taylor）多项式,的各项系数称为泰勒系数. 2.2 泰勒展开式的余项 2.2.1 佩亚诺型余项 若函数在点存在直到阶的导数,则,即 . 上式称为函数在点处的泰勒公式,称为泰勒公式的余项,形如的余项称为佩亚诺（Peano）型余项. 特别的,当时,称泰勒公式的特殊形式 . 为带有佩亚诺型余项的麦克劳林（Maclaurin）公式. 2.2.2 拉格朗日型余项 若函数在上存在直到阶的连续导函数,在内存在阶导函数,则对任意给定的,至少存在一点,使得 . 上式同样称为泰勒公式,它的余项为 , . 称为拉格朗日（Largrange）型余项. 当时,得到泰勒公式 ,. 为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式. 2.2.3 积分型余项与柯西型余项 若函数在点的邻域内有连续的阶导数,则,有 . 其中称为积分型余项. 由于连续,在（或）上保持同号,因此由推广的积分第一中值定理,可将积分型余项写成,其中介于与之间,这就将积分型余项转化成拉格朗日余项.如果直接对积分型余项用积分第一中值定理,则得到 . 由于 , 因此又可进一步把改写为 . 上式称为泰勒公式的柯西（Cauchy）型余项. 2.3 泰勒级数 函数在处的泰勒公式为 . 在上式中抹去余项,那么在附近可用上式右边的多项式来近似代替,如果函数在处存在任意阶导数,这时称形式为 的级数为函数在的泰勒级数. 当时,称 为函数的麦克劳林级数. 如果在某邻域内等于其泰勒级数的和函数,则称该级数为在点处的泰勒展开式.显然在处的泰勒级数收敛的充要条件是在处泰勒公式中的余项极限为,即. 3 泰勒展开式余项的应用 不同余项的泰勒公式之间是可相互转换的,但是不同的余项在解决不同类型的问题时有各自的优点.接下来将通过一些典型例题展开对泰勒公式中不同类型余项应用的讨论,加深对泰勒公式余项及其应用的认识. 3.1 佩亚诺型余项的应用 带佩亚诺型余项的泰勒公式在极限运算,判断函数凹凸性,判别广义积分和级数敛散性等方面都有很巧妙的用处. 3.1.1 极限运算的应用 在函数极限运算中,不定式极限的计算是重要内容,因为这是比较困难的一类问题.在计算不定式极限时,我们常常使用洛必达法则或者洛必达法则与等价无穷小相结合.但对于有些未定式极限问题如果应用泰勒公式求解,会更加简单明了. 例1 求极限. 分析: 此为型极限,若用洛必达法则求解至少要用三次,求导过程也会很繁琐.这时可将原极限中每一项分别用带佩亚诺型余项的泰勒公式代替,则可简