【创新设计】2016届数学一轮第6讲双曲线.ppt

第6讲　双曲线 考试要求　双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，A级要求． 知 识 梳 理 1．双曲线的概念 (1)第一定义： 平面内动点P与两个定点F1、F2(F1F2＝2c0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a2c)，则点P的轨迹叫 ．这两个定点叫双曲线的 ，两焦点间的距离叫 ． 集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a、c为常数且a0，c0： ①当 时，P点的轨迹是双曲线； ②当a＝c时，P点的轨迹是 ； ③当 时，P点不存在． (2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离的比是常数e(e1)的动点C的轨迹叫做双曲线． 2．双曲线的标准方程和几何性质 5．(苏教版选修2－1P48T7改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________． 考点一　双曲线的定义及应用　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________． (2)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则PF1＋PF2的值为________． 解析　(1) 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件， 得MC1－AC1＝MA， MC2－BC2＝MB， 因为MA＝MB， 所以MC1－AC1＝MC2－BC2， 即MC2－MC1＝BC2－AC1＝2， 所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于C1C2. 规律方法　双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1－PF2|＝2a，运用平方的方法，建立与PF1·PF2的联系． 解析　(1)由双曲线定义|PF1－PF2|＝8，又PF1＝9，∴PF2＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝21，∴PF2＝17. (2)如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4,0)．由双曲线的定义及标准方程得PF－PE＝4，则PF＋PA＝4＋PE＋PA.由图可得，当A，P，E三点共线时，(PE＋PA)min＝AE＝5，从而PF＋PA的最小值为9. 答案　(1)17　(2)9 深度思考　本例第(2)小题可采用三种解法，为了更好地掌握双曲线的定义及标准方程，建议同学们这三种方法都要试一试． 规律方法　(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)近几年高考对直线与双曲线的考查降低了要求，一般与双曲线的几何性质结合考查． [易错防范] 1．在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线还是双曲线的某一支． 2．双曲线中c2＝a2＋b2，说明双曲线中c最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆． 3．求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错． 答案　0 基础诊断 考点突破 课堂总结 双曲线 焦点 焦距 ac 两条射线 ac 坐标轴 原点 a2＋b2 A1(－a,0)，A2(a,0) 续表 × × √ √ 答案　1 答案　①②③ 标准方程 －＝1 (a0，b0) －＝1 (a0，b0) 图　形 性质 范围 x≥a或x≤－a，yR x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：；对称中心： 顶点 A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x 离心率 e＝，e(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长 a，b，c的关系 c2＝(c＞a＞0，c＞b＞0) y＝±x 诊 断 自 测　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线