CH1复数与复变函数.ppt

* §6 复变函数的极限和连续性 1、极限 * x y O z0 d z O u v A e f(z) 比实变函数要苛刻 * 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=u0+iv0, z0=x0+iy0 条 * 例1 证明函数 当z?0时的极限不存在 * 2、连续性 * 例：函数f(z)=ln(x2+y2)+i(x2-y2)在复平面内除原点外处处连续u=ln(x2+y2)除原点外是处处连续的v=x2-y2是处处连续的. * 复平面内，下列各式连续： * * 所谓函数f(z)在曲线C上z0点处连续的意义是指 在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的函数f(z)在曲线上是有界的. 即存在一正数M, 在曲线上恒有 |f(z)|?M * 目标1：判断定义的集合为： 区域或闭区域；有界或无界； 单连通或多连通。 目标2：用简单的函数关系找到映射曲线。 目标3：判断函数的极限是否存在。 目标4：判断函数的连续性。 作业2：第一章习题P31 16单号题、17单号题、19 * 重点回顾 1、复数： 1）复数的运算（加、减、乘、除，交 换率、 结合率、分配率、共轭复数） 2）复数的表示（向量、三角、指数、图形），幅角的概念 3) 幂与根： 根的多值性 2、区域：单连通域，多连通域 3、复变函数的极限和连续性 四个定理——转换为两个实变函数的极限和连续性 * * 3、 复数的共轭 * 一对共轭复数z和?z在复平面内的位置关于实数轴对称 O x y 因而|z|=|?z |如果z不在负实轴和原点上, 有arg z = -arg?z * 例1 设z1=5-5i, z2=-3+4i, 求 与 [解] 所以 * 例2 设 求Re(z), Im(z)与 [解] 所以 * 4 、复数形式方程来表示平面图形（复数的应用） O x y z=z1+t(z2-z1)表示通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线 O x y z=z1+t(z2-z1) z1=x1+iy1 z2=x2+iy2 * 例3 将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方程来表示. 因此, 它的复数形式的参数方程为 z=z1+t(z2-z1). (-?t+?) [解] 通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为 由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成 z=z1+t(z2-z1). (0?t?1) 取 , 得知线段 的中点为 * 例4 求下列方程所表示的曲线: * [解] 该方程表示复平面上所有与点-i的距离为2 的点，是一个圆，如图所示。 下面来求其直角坐标方程： 设z=x+iy, 方程变为 -i O x y * 几何上, 该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直平分线, 其直角坐标方程为y=-x. O x y -2 2i y=-x * 设z=x+iy, 则 可得所求曲线的方程为y=-3. O y x y=-3 * 对复平面内任一点z, 用直线将z与N相连, 与球面相交于P点, 则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,而N点本身可代表无穷远点, 记作?.这样的球面称作复球面. N S O x y P z 把包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面 复球面与无穷远点? 取一个与复平面切于原点z=0的球面, 球面上的一点S与原点重合. 通过S作垂直于复平面的直线与球面相交于另一点N. 称N为北极, S为南极. * 复球面能把扩充复平面的无穷远点明显地表示出来，这就是它比复平面优越的地方。 对于复数?来说，实部、虚部与辐角的概念均无意义,但它的模规定为正无穷大。 关于?的四则运算作如下规定:加法: a+?=?+a=? (a??)减法: a-?=?-a=? (a??)乘法: a?=?a=? (a?0) * 目标4：将复数方程与平面图形相联系。 目标2：将复数的表示相互转换。 目标3：求复数的积商幂根（通过三角或 指数表示形式）。 作业1：第一章习题P29-31 1:(3)、2:(1)(2)(3)、