随机数学 复习宝典 [整理版][第3章][162页]、所有课件、方便打印.ppt

当 时， . 综上 从而得到 Z 的密度为 （书P95第15题） 解：由例4.6求解过程可知 小结 1. 离散型随机变量函数的分布律 2. 连续型随机变量函数的分布 （４）Z=kx+Y,(k0)的概率密度为 （５）Z=XY的概率密度为 * 说明： 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,即正态分布具有可加性. 例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则 3X+4Y+1也具有正态分布. 正态随机变量的结论 若X ,Y 相互独立, 则 若(X ,Y ) 则 若 相互独立 则 推广 为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 例４ 若X和Y 独立,具有共同的概率密度 求Z=X+Y的概率密度 . 解:　　解法一　　由卷积公式 也即 （教材P85例4.4） 为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 也即 于是 解法二 从分布函数出发 x+y = z 当z 0 时， 1 y x 1 当0 ? z 1 时， y x 1 1 x+y = z ? z ? z x+y = z 当1? z 2 时， z-1 1 y x 1 ? z ? z 1 y x 1 x+y = z 2 2 当2 ? z 时， 例５ 已知 ( X ,Y ) 的联合 概率密度为 Z = X + Y ,求 f Z (z) 解 （图形定限法） 由公式（1） 考虑被积函数取非零值的区域 z x z = x z = 2x x = 1 1 2 当 z 0 或 z 2 , z z z z 当 0 ≤ z 1, 当 1 ≤ z 2, f Z (z) = 0 这比用分布函数做简便。 同理可得 故有 当 X, Y 独立时, 由此可得分布密度为 解 由公式 例6 得所求密度函数 得 3.极值分布 的分布函数 则有 故有 推广： 若 X与Y 相互独立同分布且为连续型随机变量,X的分布密度为f(x), 则M与N的分布密度为 上述结论可以推广到n维情形,即若设随机变量 相互独立同分布,令 则它们的分布函数分别为 它们的概率密度函数分别为 例7 设X,Y独立同分布,P{X=i}=1/3,i=1,2,3,求M=Max(X,Y),N=min(X,Y)的分布律. 解 （教材P94第14题） 类似可得N的分布率为 N 1 2 3 P 5/9 1/3 1/9 M 1 2 3 P 1/9 1/3 5/9 从而M的分布律为 例8 （教材Ｐ88例4.5） 解 附：平方和的分布 Z = X 2+Y 2 设(X ,Y )的联合概率密度 为 f (x,y)， 则 例如，X ~ N(0,1), Y ~ N(0,1), X ,Y 相 互独立， Z = X 2+Y 2 , 则 自由度为2 的? 2分布 称为 解 设 的分布函数为 ， 当 时，有 （教材P90例4.6） 若 f (x,y) 在点(x, y) 连续, f Y (y)在 点 y 处连续且 f Y (y) 0, 则称 为Y = y 时，X 的条件分布函数, 记作 定义 类似地, 称 为X = x 的条件下Y 的条件分布函数; 为 X = x 的条件下Y 的条件概率密度 称 为 Y = y 的条件下 X 的条件 概率密度 称 注意 y是常数, 对每一 fY (y) 0 的 y 处, 只要 相仿论述. 仅是 x 的函数, 类似于乘法公式： 符合定义的条件, 都能定义相应的函数. 类似于全概率公式 类似于Bayes公式 二维连续随机变量 ( X,Y ) 相互独立 例3 已知(X,Y )服从圆域 x2 + y2 ? r2 上的均匀分布,求 r 解 ? ? x -r = 同理， 边缘分布不是均匀分布！ 当 – r y r 时， ? ? y — 这里 y 是常数，当Y = y时， 当 – r x r 时， — 这里 x 是常数，当X = x 时， ? ? x 条件分布是均匀分布！ 例4 设 求 解 y = x 1 1 y = x 1 1 当0 y 1