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数学 专题七　几何综合问题 几何型综合题是指以几何知识为主或以几何变换为主的一类综合题，涉及知识主要包括几何的定义、公理、定理以及几何变换等内容．解题策略：解决几何型综合题的关键是把代数知识与几何图形的性质以及计算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题的目的． 代数和几何型综合题是指以代数知识与几何知识综合运用为主，包括坐标系中的图形变换等的一类综合题，涉及知识主要以函数与圆、方程，函数与三角形、四边形等相关知识为主综合．解题策略：几何图形形象直观，解题过程的可操作性强，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法． 几何综合型问题 【例1】(2015·湖州)已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点． (1)初步尝试 如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等．求证：HF＝AH＋CF. 小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题： 思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证GH＝AH，再证GF＝CF，从而证得结论成立； 思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM＝AH，再证HF＝MF，从而证得结论成立． 请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程； 平面直角坐标系中的代数与几何的综合 【例2】(2015·衡阳)如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点(与点O，A不重合)，连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM＝CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND，BM，设OP＝t. (1)求点M的坐标(用含t的代数式表示)； (2)试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由； (3)当t为何值时，四边形BNDM的面积最小？ 1．(2015·福州)如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE＝∠A，DM∥EF交AC于点M. (1)求证：DM＝DA； (2)点G在BE上，且∠BDG＝∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF； (3)在图②中，取CE上一点H，使∠CFH＝∠B，若BG＝1，求EH的长． 1．(2015·海南)如图1，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD＝60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点． (1)求证：△ADP≌△ECP； (2)若BP＝n·PK，试求出n的值； (3)作BM⊥AE于点M，作KN⊥AE于点N，连接MO，NO，如图2所示，请证明△MON是等腰三角形，并直接写出∠MON的度数． (3)能．令y＝0，求得抛物线与x轴交点坐标为H(－4，0)，G(12，0)．①当PD⊥x轴时，由于PD＝8，DG＝DH＝8，故点Q的坐标为(－4，0)或(12，0)时，△PDQ是以D为直角顶点的等腰直角三角形；②当PD不垂直x轴时，如图，分别过P，Q作x轴的垂线，垂足分别为N，I，则Q不与G重合，从而I不与G重合，即DI≠8.∵PD⊥DQ，∴∠QDI＝90°－∠PDN＝∠DPN，∴Rt△PDN∽Rt△DQI，∵PN＝8，∴PN≠DI，∴Rt△PDN与Rt△DQI不全等，∴PD≠DQ，另一侧同理PD≠DQ.综合①，②所有满足题设的点Q的坐标为(－4，0)或(12，0) x＝2 45° (2)类比探究如图2若在△ABC中＝90＝∠BAC＝30且点D的运动速度之比是：1求的值；(3)延伸拓展如图3若在△ABC中＝AC＝∠BAC＝36记＝m且点D运动速度相等试用含m的代数式表示.(直接写出结果不必写解答过程)分析：(1)由不同的思路证明相应的三角形全等即可； (2)类比(1)中的思路作出辅助线，再证明相应的三角形全等即可得出结论； (3)过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证出 DG＝DH＝AH，再证明△DGH∽△ABC，得出＝＝m，＝m，证明△DFG∽△EFC，得出＝＝＝＝m，＝m，＝＝，即可得出结果． 解：(1)选择思路一：过点D作DG∥BC交AC于点G是等边三角形＝∠B＝60＝是等边三角形＝AD＝CE＝AH＝∠CEF＝∠ECF＝CF＋GF＝AH＋CF即HF＝AH＋CF　选择思路二：过点E作EM⊥AC交AC的延长线于点M是等边三角形ACB＝∠ECM＝60＝∠CME＝90＝CE＝CM＝EM又∵∠DHF＝∠EMF＝90＝∠EFM＝MF＝CM＋CF＝AH＋CF　(2)过点D作DG∥BC交AC于点G则∠ADG＝∠B＝90＝∠ADH＝30＝∠HDG＝60＝GH＝GD＝GD由题意可知＝CEGD＝CEG∥BC，∴∠GDF＝∠CEF＝∠ECF(ASA)，∴GF＝CF＋GF＝AH＋CF即HF＝AH＋CF＝2　(3)＝分析：(1