计算固体计算力学 - 第四章 几何非线性问题.ppt

第六节 结构稳定性和屈曲问题 初始稳定性问题（初始屈曲等） 参考《线性与非线性有限元及其应用》郭乙木等著，重新整理。 稳定性控制方程（屈曲方程） 非线性方程： 稳定性问题：在一定的荷载条件下，结构处于平衡状态。在荷载不增加的条件下，是否存在另一状态？ 从数学上说，如果位移{u}对应平衡状态，在荷载不变的条件下，位移有一个小的扰动，是否也能够处于平衡状态？ 也就是： ，是否有非零解？ 注意：非线性刚度矩阵 初始内力的大小与外荷载相关。如果讨论的是初始屈曲问题， 则初始内力与外荷载成正比。例如，梁的屈曲问题，则内力 与轴向荷载p成正比。此时， 是由初始内力形成的刚度矩阵。 失稳条件： 求解上述方程，可求出失稳荷载。 补 充 一、大变形问题的空间描述 前面介绍了求解大变形问题的物质描述方法（也称为Lagrange描述方法）。它是固体力学中经常采用的方法，这种方法是跟踪物质质点的运动，以质点的位移为基本的场变量。 研究有限变形，特别在粘性或塑性流动问题中，也可采用流体力学中常用的空间描述方法（也称为Euler描述方法）。它描写的是运动的瞬时状态，作为基本变量的速度场和压力场是空间坐标的函数。 具体内容参考《非线性有限元基础》，殷有泉著 二、处理大变形问题的ALE方法 当材料严重变形时，用Lagrange描述方法的单元会发生严重扭曲，因为他们随材料一起变形，从而恶化了这些单元的精度；甚至在积分点上Jacobi行列式可能变为负值，以致使计算中止或者引起严重的局部误差。因此，在许多发生严重大变形的模拟计算中，重新剖分网格是不可避免的，然而这是一个沉重的负担。 用Euler法描述的有限元中，网格在空间是固定不变的，材料从单元网格中流过。这样，单元不会随材料运动而扭曲。但是，由于材料通过单元对流，本构方程的处理将是复杂的。而且应用Euler网格处理移动边界问题和流体与结构相互作用的问题也是十分困难的。 二、处理大变形问题的ALE方法 目前已经发展了一种兼顾Euler法和Lagrange方法优点的杂交技术，我们称它们为任意的Lagrange-Euler方法（ALE）。ALE有限元法的目的是集合Lagrange和Euler有限元描述的优越性，而降它们的缺陷降低至最低，其代价是增加了计算量。 具体内容参考《非线性有限元基础》，殷有泉著 网格更新算法 网格更新算法 本章结束！ 计算固体计算力学 * 博士研究生课程 计算固体力学 课程编号：017090 王生楠，谢伟 西北工业大学 航空学院 第四章 几何非线性问题及其有限元求解 大变形条件下的应力和应变的度量 几何非线性问题的表达格式 大位移非线性弹性理论的变分原理 几何非线性问题的有限元分析 结构稳定性和屈曲问题 第一节 引言 小变形假设，包含两个方面内容： 一是假定物体所发生的位移远小于物体自身的几何尺度，在此前提下，建立结构或微元体的平衡条件时可以不考虑物体的位置和形状（简称位形）的变化，因此分析中不必区分变形前和变形后的位形，即如我们通常习惯上所用的以变形前位形描述变形后的平衡位形。 二是假定在加载和变形过程中的应变可用一阶微量的线性应变进行度量，即应变与位移成一阶线性关系。 第一节 引言 几何非线性问题： 板、壳等薄壁结构在一定载荷作用下，尽管应变很小，甚至未超过弹性极限，但是位移较大。这时必须考虑变形对平衡的影响，即平衡条件必须建立在变形后的位形上，同时应变表达式应包括位移的二次项——平衡方程和几何条件都是非线性的； 金属成型材料在受载时都可能出现很大的应变，这时除了采用非线性的平衡方程和几何关系外，还需引入相应的应力应变关系。 在几何非线性问题的有限元法中，通常采用增量分析方法。 完全的Lagrange格式：静力学和运动学变量总是参考初始变形，即整个分析过程中参考位形保持不变。 增量分析方法一般采用两种表达格式 更新的Lagrange格式：静力学和运动学变量参考于每一载荷或时间步长开始时的位形，即在分析过程中参考位形不断在更新。 第二节 大变形条件下应力和应变的度量 一、应变的度量 0时刻 P点坐标： Q点坐标： t时刻 P点坐标： Q点坐标： 将物体位形的变化看成从 到 的一种数学上的变化。对于某一固定时刻t这种变换可以表示为 根据变形的连续性要求，这种变化必须一一对应，即变换是单值连续的。同时变换应有唯一的逆变换，也是单