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第6章 常微分方程初值问题数值解法 6.1 问题的描述和基本概念 1、常微分方程初值问题 一般形式 式中已知，称为初值条件. 初值问题的数值方法和数值解 求函数在若干离散点上的近似值的方法称为初值问题的数值方法，而称为初值问题的数值解. 2. 建立数值解法的思想与方法 用离散化方法将初值问题化为差分方程, 然后再求解. 设节点为 距离称为步长. 求数值解一般是从开使逐次顺序求出. 初值问题的解法有单步法和多步法两种： 单步法：计算时只用到一个值； 多步法：计算时要用多个值。 数值解法还有显格式和隐格式之分。 微分方程离散化方法主要有 数值微分法，数值积分法和Taylor展开法 1) 数值微分法 由，用数值微分的2点前差公式代替，得近似离散化方程 记，做，“”，得差分方程 即 （Euler公式） 由初值条件及Euler公式可求出数值解.Euler公式是显式单步法. 2）数值积分法 在上对两边取定积分，得 右端积分用左矩形公式（数值积分公式）得 于是得到求初值问题的Euler方法 右端积分用右矩形公式（数值积分公式）得 于是得到求初值问题的后退Euler方法 后退Euler方法是隐式的. 右端积分用梯形公式（数值积分公式）得近似离散化方程： 于是得到求初值问题的梯形方法 该公式是隐式单步法. 3）Taylor展开法 因为初值问题中函数是已知函数，由，可以计算，，…， 于是有函数在处的Taylor展式 取上式右端前若干项，得近似离散化方程. 例如取前两项有 于是又得到Euler公式：. 3. 数值解法的误差、阶与绝对稳定性 单步法数学描述为 显式： 其中称为增量函数. 显式单步法的一些概念 定义1 称 为单步法在节点的整体截断误差，而称 为在点的局部截断误差。 表示解在的值，是准确值，没有误差； 表示由数值解公式得出的近似值，是数值解，有截断误差. 局部截断误差的理解 假设在计算时没有误差（）下,计算出的（）与的误差(计算一步的误差）. 定义2 如果数值解法的局部截断误差为 则称该方法具有p阶精度或该方法是p阶方法. 方法的阶越高，方法越好. 局部截断误差的主项 如果某方法是p阶方法，按可展为 则称 为局部截断误差的主项. 在同阶方法中，局部截断误差的主项越小，方法越好. 对Euler方法，有 将在点展开，有  故有 Euler方法是一阶方法. 例1 试求梯形方法的阶和局部截断误差主项. 解 该单步公式的局部截断误差是 故局部截断误差主项是，方法是二阶的. 定义3 设某种数值方法在上大小为的扰动，于以后各上产生的偏差均不超过，则称该数值方法是稳定的。 通常用试验方程 （为复数） 来讨论求解数值方法绝对稳定性. Euler方法稳定性 将Euler公式用于试验方程，得到 设计算时有误差则有 得 要想，只须，因此Euler方法在时是绝对稳定的，其绝对稳定域为复平面上以(-1,0)为中心的单位圆盘.绝对稳定区间为 6.2 Runge-Kutta方法 称为级R-K方法.增量函数是 构造过程 以来说明Runge-Kutta方法的构造方法和过程，对一般的Runge-Kutta方法可类似处理. 的Runge-Kutta公式为 式中 ，. 由，可得 在处做Taylor展开，有 对在做二元Taylor展开，有 由 ， 有 选 有局部截断误差，这样可得到二阶Runge-Kutta公式. 取，则式（6.13）的解为 ， 取不同的可得出不同的二阶Runge-Kutta公式.如取时，得到改进的Euler公式 时，得到中点公式 经典Runge-Kutta公式 四阶方法. 例1 设初值问题为 分别用Euler方法（），改进Euler方法 （）和经典Runge-Kutta方法（）计算。 解 Euler方法计算格式（）为 改进的Euler方法计算格式（）为 经典Runge-Kutta方法计算格式（）为 它们的初值，计算结果及准确解列于下表 Euler方法 经典R-K法 0 0 0 0 0 0.1 0.096 312 0.095 123 0.095 16250 0.095 162 58 0.2 0.183 348 0.181 193 0.181 269 10 0.181 269 25 0.3 0.262 001 0.259 085 0.259 181 58 0.259 181 78 0.4 0.333 079 0.329 563 0.329 679 71 0.329 679 95